1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 2

 íåì, î÷åâèäíî, âûïîëíåíà è àêñèîìà ëîêàëüíîé óïîðÿäî÷åííîñòè.Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåííîå ñåìåéñòâî ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíîé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé√ ãðóïïîé Ëè.Ââåäåì â ýòîé ãðóïïå êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð. Âñïîìîãàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååì âèä A(a) = 1 − a2 è, â ñèëóòåîðåìû 1, êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåaZ√ā =0ds= arcsin a.1 − s2Ñ êàíîíè÷åñêèì ïàðàìåòðîì ïðåîáðàçîâàíèå Tā ïðèíèìàåò ñòàíäàðòíûé âèä ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà â ïëîñêîñòè(x, y) íà óãîë ā:(x = x cos ā + y sin ā,y = −x sin ā + y cos ā.1.2(1.1)Èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîðÐàññìàòðèâàåòñÿ ëîêàëüíàÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Ëè G1 ñ êàíîíè÷åñêèì ïàðàìåòðîì a ∈ ∆ ⊂ R, êîòîðàÿçàäàíà ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ta : x = f (x, a), x ∈ Rn .

Ôóíêöèþ f (x, a) áóäåì íàçûâàòü ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ãðóïïûG1 . Ôèêñèðóÿ òî÷êó x è èçìåíÿÿ ïàðàìåòð a ïîëó÷èì êðèâóþ â ïðîñòðàíñòâå Rn , ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé îðáèòóòî÷êè x. Êàñàòåëüíûé ê ýòîé êðèâîé âåêòîð ξ â òî÷êå x èìååò êîìïîíåíòû∂f (x, a) iξ (x) =∂a ia=0è íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíûì âåêòîðíûì ïîëåì.Îïðåäåëåíèå 3.Èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì ãðóïïû G1 íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîðX=nXξ i (x)i=16∂,∂xiÒåîðåìà 2.Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ x = f (x, a) ãðóïïû G1 óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å Êîøè ∂x = ξ(x),∂ax|a=0 = x.(1.2)Îáðàòíî, êàêîâà áû íè áûëà äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ξ(x) òîæäåñòâåííî íå ðàâíàÿ íóëþ, ðåøåíèåçàäà÷è (1.2), îïðåäåëÿåò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé G1 ñ êàíîíè÷åñêèìçàêîíîì óìíîæåíèÿ.Óðàâíåíèÿ (1.2) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ëè. Îíè óñòàíàâëèâàþò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ëîêàëüíîé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïîé Ëè è åå èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì.

Ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò y i = y i (x) êîìïîíåíòû âåêòîðà ξ(x) ïðåîáðàçóþòñÿ êàê êîîðäèíàòû êîíòðàâàðèàíòíîãî âåêòîðà ñëåäóþùèìîáðàçîìnX∂y iη (y) =ξ (x) j .∂xj=1ijÇàìåíà ïåðåìåííûõ â äèôôåðåíöèàëüíîì îïåðàòîðå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåX = ξ i (x)∂xi = X(y i (x))∂yi = η i (y)∂yi ≡ X 0 .(1.3)Çäåñü è äàëåå ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó i âûïîëíÿåòñÿ ñóììèðîâàíèå è èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå ∂x = ∂/∂x.(î âûïðÿìëåíèè îïåðàòîðà).

Âñÿêàÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Ëè G1 çàìåíîé ïåðåìåííûõ ñâîäèòñÿê ãðóïïå ïåðåíîñîâ ïî êîîðäèíàòå y 1 .Òåîðåìà 3 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (1.3) â êà÷åñòâå êîîðäèíàò y âûáèðàþòñÿ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ ñèñòåìûóðàâíåíèéXy 1 (x) = 1,Xy i (x) = 0,i = 2, . . . , n.7(1.4)Ïðèìåð 2. Îïåðàòîð ãðóïïû âðàùåíèé (1.1) èìååò âèä X = y∂x − x∂y . Âûïðÿìëåíèåîïåðàòîðà X îñóùåñòâëÿåòñÿpïåðåõîäîì ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x = r cos θ, y = r sin θ. Ïîñêîëüêó X( x2 + y 2 ) = 0 è X(arctg(y/x)) = −1,òî â ïåðåìåííûõ (r, θ) îïåðàòîð X ïðèíèìàåò âèä X 0 = −∂θ .Ïðèìåð 3. Íàéòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðóïïû G1 çàäàííîé îïåðàòîðîì X = y∂x − x∂y + ∂z .Çàïèøåì äëÿ äàííîãî îïåðàòîðà óðàâíåíèÿ Ëè:∂x= y,x|a=0 = x ∂a∂y∂a∂z∂a= −x,y|a=0 = y= 1,z|a=0 = z. ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîëó÷àåì êîíå÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ x = x cos a + y sin a,y = −x sin a + y cos a,z = z + a.Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìûé îïåðàòîð çàäàåò âèíòîâîé ñäâèã, ñîñòîÿùèé â îäíîâðåìåííîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîâîðîòà â â ïëîñêîñòè (x, y) è ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå âäîëü îñè z .1.3Èíâàðèàíòû è èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿîäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèéÔóíêöèÿ F (x) 6= const íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì ãðóïïû G1 åñëè äëÿ ëþáîãî T ∈ G1 èìååò ìåñòîòîæäåñòâî F (T x) = F (x).Îïðåäåëåíèå 4.(êðèòåðèé èíâàðèàíòíîñòè ôóíêöèè).

Ôóíêöèÿ F (x) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ãðóïïû G1 åñëè è òîëüêîåñëè âûïîëíåíî ðàâåíñòâîÒåîðåìà 4XF ≡ ξ i (x)8∂F= 0.∂xi(1.5)Èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå (1.5) â ïðîñòðàíñòâå Rn èìååò n−1 ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé I 1 (x), . . . , I n−1 (x).Ëþáîå äðóãîå ðåøåíèå (1.5) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç íèõ â âèäå F = Φ(I 1 , . . . , I n−1 ) ñ ïîäõîäÿùåé ôóíêöèåé Φ.Ïîëíûé íàáîð ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû G1 íàçûâàåòñÿ áàçèñîì èíâàðèàíòîâ ýòîé ãðóïïû.Îïðåäåëåíèå 5.Ïðèìåð 4. Ðàññìîòðèì îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó Ëè G1 , ïîðîæäàåìóþ îïåðàòîðîì X = ∂x + 3y∂y . Íàéäåì êîíå÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è îáùèé âèä èíâàðèàíòà ýòîé ãðóïïû.

Ñîñòàâëÿåì ñèñòåìó óðàâíåíèé Ëè (1.2):∂x= 1, x |a=0 = x,∂a∂y= 3y, y |a=0 = y.∂aÈíòåãðèðîâàíèåì íàõîäèì ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðóïïû G1 â âèäå x = x + a, y = e3a y . Äëÿ îòûñêàíèÿ èíâàðèàíòîâ ãðóïïûG1 íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâíåíèå (1.5), êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèä Fx + 3yFy = 0 (íèæíèé èíäåêñ îáîçíà÷àåò÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó àðãóìåíòó). Ñîñòàâëåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ äàåòdx dy=13y⇒I 1 = ye−3x .Òàêèì îáðàçîì, íàèáîëåå îáùèé âèä èíâàðèàíòà ðàññìàòðèâàåìîé ãðóïïû G1 åñòü F = Φ(ye−3x ) ñ ïðîèçâîëüíîéãëàäêîé ôóíêöèåé Φ.Ìíîãîîáðàçèå M èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîéòî÷êè x ∈ M è äëÿ ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ T ∈ G1 âûïîëíåíî T x ∈ M.Îïðåäåëåíèå 6.Ïóñòü ìíîãîîáðàçèå M ⊂ Rn çàäàíî ñèñòåìîé óðàâíåíèéM:ψ σ (x) = 0,(1.6)σ = 1, .

. . , s.σÌíîãîîáðàçèå M ðåãóëÿðíî çàäàíî óðàâíåíèÿìè (1.6) åñëè ìàòðèöà ßêîáè || ∂ψ∂xi || èìååò â òî÷êàõM ðàíã ðàâíûé s. ×èñëî n − s íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ, à s êîðàçìåðíîñòüþ ìíîãîîáðàçèÿ M.Îïðåäåëåíèå 7.9Ìíîãîîáðàçèå M ðåãóëÿðíî çàäàííîå óðàâíåíèÿìè (1.6) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïûG1 ñ îïåðàòîðîì X , åñëè è òîëüêî åñëè âûïîëíåíîÒåîðåìà 5.X ψ σ |M = 0,σ = 1, . . . , s.(1.7) îòëè÷èè îò êðèòåðèÿ èíâàðèàíòíîñòè ôóíêöèè (1.5), â êðèòåðèè èíâàðèàíòíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ (1.7) ðåçóëüòàòäåéñòâèÿ îïåðàòîðà X íà ôóíêöèè ψ σ ðàâåí íóëþ íå òîæäåñòâåííî, à òîëüêî â òî÷êàõ ìíîãîîáðàçèÿ M.Ìíîãîîáðàçèå M íàçûâàåòñÿ îñîáûì îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G1 , åñëè îïåðàòîð ãðóïïû X òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ íà ìíîãîîáðàçèè M, ò.å. X|M ≡ 0.

 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèå íàçûâàåòñÿ íåîñîáûì.Îïðåäåëåíèå 8.(î ïðåäñòàâëåíèè íåîñîáîãî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ). Âñÿêîå íåîñîáîå èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíîãðóïïû G1 ìíîãîîáðàçèå M ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèÿìè âèäà Φσ (I 1 , ...I n−1 ) = 0 (σ = 1, ..., s), ñâÿçûâàþùèìè òîëüêîèíâàðèàíòû ãðóïïû G1 .Òåîðåìà 6Ïðèìåð 5.

Ïîêàæåì, ÷òî ìíîãîîáðàçèå, çàäàííîå â ïðîñòðàíñòâå R3 (x, y, z) óðàâíåíèåì ψ = 2x6 − 5y 3 + z 2 = 0,èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ãðóïïû, ïîðîæäàåìîé îïåðàòîðîì X = x∂x + 2y∂y + 3z∂z , è çàïèøåì ìíîãîîáðàçèå âòåðìèíàõ èíâàðèàíòîâ îïåðàòîðà X .Ïðîâåðèì êðèòåðèé (1.7). Äåéñòâóÿ íà ôóíêöèè ψ îïåðàòîðîì X ïîëó÷àåì,Xψ = 12x6 − 30y 5 + 6z 2 = 6ψ.Î÷åâèäíî, ÷òî â òî÷êàõ ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ. Îòìåòèì, ÷òî ìíîãîîáðàçèå ψ = 0 ÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì è ðåãóëÿðíî çàäàííûì.Íàéäåì èíâàðèàíòû îïåðàòîðà X . Äëÿ äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâíåíèå (1.5), êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àåèìååò âèäxFx + 2yFy + 3zFz = 0.Ñîñòàâëåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ è åãî èíòåãðèðîâàíèå äàåòdx dydz==x2y3zx2I1 = ,y⇒10z2I2 = 3 .yÍåòðóäíî âèäåòü, ÷òî óðàâíåíèå ìíîãîîáðàçèÿ ψ = 2x6 −5y 3 +z 2 = 0 â òåðìèíàõ èíâàðèàíòîâ äîïóñêàåìîãî îïåðàòîðàX çàïèñûâàåòñÿ â âèäå 2I13 + I2 = 5. èíâàðèàíòíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ ψ = 0 îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà X ìîæíî óáåäèòñÿ è íåïîñðåäñòâåííî, ðàññìàòðèâàÿ êîíå÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðóïïû G1 , ÿâëÿþùèåñÿ â äàííîì ñëó÷àå ðàñòÿæåíèÿìè.

Îäíàêî â áîëåå ñëîæíûõïðèìåðàõ èñïîëüçîâàíèå êîíå÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêè èíâàðèàíòíîñòè çàäàííîãî ìíîãîîáðàçèÿ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G1 ìîæåò ïðèâåñòè ê çíà÷èòåëüíûì âû÷èñëèòåëüíûì òðóäíîñòÿì.1.4Çàäà÷è1. Ïðîâåðèòü, îáðàçóþò ëè óêàçàííûå ñåìåéñòâà ïðåîáðàçîâàíèé ëîêàëüíóþ îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó Ëè G1 .Íàéòè çàêîí óìíîæåíèÿ è ââåñòè êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð (åñëè çàêîí óìíîæåíèÿ íå êàíîíè÷åñêèé).(a) Ïåðåíîñ: x = x + aλ; x, x, λ ∈ Rn , λ çàäàííûé âåêòîð, a ∈ R.(b) Ðàñòÿæåíèå: x = ax (îäíîðîäíîå); xi = aµi xi , i = 1, . .

. , n (íåîäíîðîäíîå). Çäåñü x, x, µ ∈ Rn , µ çàäàííûéâåêòîð, a > 0.(c) Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïîâîðîò (ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà):x = x ch a + y sh a, y = x sh a + y ch a; x, y, a ∈ R.(d) Ïðåîáðàçîâàíèå Ãàëèëåÿ x = x + ay , y = y ; x, y, a ∈ R.(e) Ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå: x =x1−ax ,y=y1−ax ;x, y, a ∈ R.(f) x = x + a, y = y + a2 ; x, y, a ∈ R.(g) x = x + a3 ; x, a ∈ R.(h) x = ea (x cos a − y sin a), y = ea (x sin a + y cos a); x, y, a ∈ R.(i) x = a(x + y ln a), y = ay , z = az ; x, y, z, a ∈ R.√(j) x = tg(a + arctgx), y = ( 1 + x2 cos(a + arctg x))−1 y ;x, y, a ∈ R.(k) x = x + ln a, y = ay , z = zey(a−1) ; x, y, z, a ∈ R.11(l) x = x + a, y = xa + a2 /2 + y , z = z + a; x, y, z, a ∈ R.2. Íàéòè èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû äëÿ ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé èç óïðàæíåíèÿ 1. Ðåøåíèåì óðàâíåíèé (1.4)íàéòè êîîðäèíàòû, â êîòîðûõ îïåðàòîðû ïðèâîäÿòñÿ ê îïåðàòîðàì ïåðåíîñà.3.