1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 3

Íàéòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðóïïû G1 çàäàííîé îïåðàòîðîì(a) (x + y)∂x + (y − x)∂y ;(b) (1 + x2 )∂x + xy∂y ;(c) (x2 + y 2 )∂x + 2xy∂y ;(d) x∂x + 2y∂y + 3z∂z ;(e) x∂y + ∂z ;(f) x2 ∂x + xy∂y ;(g) x2 ∂x + y 2 ∂y ;(h) (1 − x2 )∂x − xy∂y ;(i) (x + y)∂x + y∂y + z∂z ;(j) ∂x + x∂y + (x + y)∂z .4. Âûïîëíèòü çàìåíó ïåðåìåííûõx = r cos θ, y = r sin θ, u = U cos θ − V sin θ, u = U sin θ + V cos θâ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðàõ(a) x∂x + y∂y + u∂u + v∂v ;(b) y∂x − x∂y + v∂u − u∂v ;(c) cos t ∂t − (x sin t − y cos t)∂x − (x cos t + y sin t)∂y ++ (u − y) sin t + (v − x) cos t ∂u − (u + y) cos t − (v + x) sin t ∂v ;(d) sin t ∂t + (x cos t + y sin t)∂x −(x sin t − y cos t)∂y ++ (u − y) cos t − (v − x) sin t ∂u − (u + y) sin t + (v + x) cos t ∂v .5.

Íàéòè èíâàðèàíòû îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû Ëè çàäàííîé îïåðàòîðîì12(a) y∂x + x∂y ;(b) x∂x + 2y∂y − 3z∂z ;(c) (x − y)∂x + (x + y)∂y ;(d) (x2 − y)∂x + xy∂y ;(e) (x − z)∂x + (y − z)∂y + 2z∂z ;(f) y∂x − x∂y + z∂z ;(g) (1 + x2 )∂x + xy∂y + z∂z ;(h) (y + z)∂x + (z + x)∂y ++ (x + y)∂z ;(i) z 2 ∂x + x∂y + ∂z ;(j) ∂x + y∂y + k1 z∂z + k2 v∂v .6. Ïðîâåðèòü èíâàðèàíòíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ M îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû G1 çàäàííîé îïåðàòîðîì X èçàïèñàòü ìíîãîîáðàçèå M â èíâàðèàíòàõ äîïóñêàåìîãî îïåðàòîðà:(a) X = (y + xz)∂x + (yz − x)∂y + (1 + z 2 )∂z , M îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä x2 + y 2 − z 2 = 1;(b) X = y(∂x + ∂y ), M ïðÿìàÿ y = 0;(c) X = (y − x)∂x + (x + y + z)∂y + (x − y)∂z , M ïðÿìàÿ ψ1 = x + y + z = 0, ψ2 = 3x − y + z = 0;(d) X = (z 2 − y 2 )∂x + z∂y − y∂z , ìíîãîîáðàçèå M çàäàíî óðàâíåíèåì x2 + y 2 + z 2 − 2xyz + y 2 z 2 = 0;(e) X = x(y 2 − z 2 )∂x − y(z 2 + x2 )∂y + z(x2 + y 2 )∂z , M ñôåðà x2 + y 2 + z 2 = 1;(f) X = y∂x + x∂y + z∂z , M ïàðà ïëîñêîñòåé (x + y)2 − z 2 = 0.2Ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé èäèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ2.1Òåîðèÿ ïðîäîëæåíèÿÐàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî Z = Rn (x) × Rm (u) = X × U .

Ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ íà äâà òèïà: x = (x1 , . . . , xn ) íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, u = (u1 , . . . , um ) ôóíêöèè îò x.Îïðåäåëåíèå 9.k -ì ïðîäîëæåíèåì ïðîñòðàíñòâà Z íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîZ = X × U × U × . . . × U.1k13kÇäåñü U =s∂ s uα∂xj1 ...xjs ïðîñòðàíñòâî âñåõ ïðîèçâîäíûõ k -ãî ïîðÿäêà.Êîîðäèíàòàìè (íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè) â ïðîäîëæåííîì ïðîñòðàíñòâå Z ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûå x, ôóíêöèè u,kà òàêæå âñå ïðîèçâîäíûå uαj1 ...js äî k -ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî. Ðàçìåðíîñòü ïðîäîëæåííîãî ïðîñòðàíñòâà âû÷èñëÿåòñÿïî ôîðìóëånνk = dim Z = n + m Cn+k.(2.1)kÏóñòü â ïðîñòðàíñòâå Z äåéñòâóåò ëîêàëüíàÿ ãðóïïà Ëè G ñ îïåðàòîðîìX = ξ i (x, u)∂xi + η α (x, u)∂uα .Äåéñòâèå ãðóïïû G åñòåñòâåííûì îáðàçîì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîñòðàíñòâî Z .

Ïðè ýòîì, ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâîäkíûõ âû÷èñëÿþòñÿ ïî îáû÷íûì ïðàâèëàì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ñîâîêóïíîñòü ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû G, à òàêæåñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðîèçâîäíûõ, óäîâëåòâîðÿåò âñåì àêñèîìàì ëîêàëüíîé ãðóïïû Ëè.Îïðåäåëåíèå 10.Ëîêàëüíàÿ ãðóïïà Ëè G, ïîëó÷åííàÿ ðàñïðîñòðàíåíèåì ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû G íà ïðîèçâîäíûåkïî îáû÷íûì ïðàâèëàì çàìåíû ïåðåìåííûõ, äåéñòâóþùàÿ â ïðîñòðàíñòâå Z , íàçûâàåòñÿ k -ì ïðîäîëæåíèåì ëîêàëüíîékãðóïïû Ëè G.Ïðîäîëæåííîé ãðóïïå G îòâå÷àåò îïåðàòîðkX = ξ i ∂xi + η α ∂uα + ζiα ∂uαi + . .

. + ζiα1 ... ik ∂uαi1 ... i .kkÇäåñü è äàëåå â ýòîì ïàðàãðàôå (åñëè íå îãîâîðåíî îñîáî) èíäåêñû ïðèíèìàþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: α = 1, . . . , m;i, i1 , . . . , ik = 1, . . . , n, ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå. Êîîðäèíàòû ïðîäîëæåííîãî îïåðàòîðà X âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëåkζjα1 ... js = Dj1 . . . Djs (η α − uαi ξ i ) + ξ i uαij1 ... js ,Di îïåðàòîð ïîëíîé ïðîèçâîäíîé ïî i-é ïåðåìåííîé:Di = ∂xi + uαi ∂uα + . . . + uαij1 ...js ∂uαj1 ...js + . . .

.14(2.2)Íàðÿäó ñ ÿâíîé ôîðìóëîé (2.2) óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîé äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîîðäèíàò ïðîäîëæåííîãî îïåðàòîðà:ζiα = Di η α − uαj Di ξ j ,(2.3)ζijα1 ... js = Di ζjα1 ... js − uαrj1 ...js Di ξ r .Âàæíî ïîìíèòü, ÷òî âî âñåõ ýòèõ ôîðìóëàõ êîîðäèíàòû x, u, à òàêæå âñå ïðîèçâîäíûå uαj1 ...js äîëæíû ðàññìàòðèâàòüñÿêàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå.Îïåðàöèÿ ïðîäîëæåíèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.• Ëèíåéíîñòü: äëÿ ëþáûõ êîíñòàíò c1 , c2 è äëÿ ëþáûõ îïåðàòîðîâ X1 , X2 ñïðàâåäëèâî c1 X + c2 X2 = c1 X1 + c2 X2 .kkk• Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî çàìåíû êîîðäèíàò: îïåðàöèè çàìåíû ïåðåìåííûõ (x, u) ↔ (y, v) è ïðîäîëæåíèÿïåðåñòàíîâî÷íû.• Ñîõðàíåíèå êîììóòàòîðà: äëÿ ëþáûõ îïåðàòîðîâ X1 è X2 ñïðàâåäëèâî [X1 , X2 ] = [X1 , X2 ] (îïåðàöèÿ êîììóòèðîkâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ â ðàçäåëå 4).kkÏðèìåð 6.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé n = m = 1. Ââåäåì èíäèâèäóàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x,ôóíêöèè y , ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîäíîé p = y 0 , q = y 00 . Îïåðàòîð ãðóïïû G1 çàäàåòñÿ â âèäå X = ξ(x, y)∂x +η(x, y)∂y .Ïðîäîëæåííûé äî âòîðîãî ïîðÿäêà îïåðàòîð èìååò âèäX = ξ∂x + η∂y + ζ1 ∂p + ζ2 ∂q .2Êîîðäèíàòû ïðîäîëæåííîãî îïåðàòîðà ζ1 è ζ2 âû÷èñëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.3) ïî ôîðìóëàì:ζ1 = Dx η − p Dx ξ,ζ2 = Dx ζ1 − q Dx ξ. ðàçâåðíóòîì âèäå îíè òàêîâû:(2.4)ζ1 = ηx + p (ηy − ξx ) − p2 ξyζ2 = ηxx + p (2ηxy − ξxx ) + p2 (ηyy − 2ξxy )−− p3 ξyy + q (ηy − 2ξx ) − 3pq ξy .15(2.5)Ïðèìåð 7. Ðàññìîòðèì ãðóïïó âðàùåíèé íà ïëîñêîñòè ñ îïåðàòîðîì X = y∂x − x∂y .

Ïîñòðîèì âòîðîå ïðîäîëæåíèåîïåðàòîðà X â áàçîâîì ïðîñòðàíñòâå Za) Z = R(x) × R(y), y = y(x);á) Z = R2 (x, y) × R(u), u = u(x, y).Âàðèàíò à). Äëÿ ïðîäîëæåíèÿ îïåðàòîðà X âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (2.5). Çäåñü ξ = y , η = −x. Èìååì,ζ1 = −1 − p2 ,ζ2 = −3pq.Ïðîäîëæåííûé îïåðàòîð èìååò âèäX = y∂x − x∂y − (1 + p2 ) ∂p − 3pq ∂q .2Âàðèàíò á).(2.6) ýòîì ñëó÷àå ξ x = y , ξ y = −x, η = 0. Âòîðîå ïðîäîëæåíèå îïåðàòîðà X èìååò âèäX = y∂x − x∂y + ζx ∂ux + ζy ∂uy + ζxx ∂uxx + ζxy ∂uxy + ζyy ∂uyy ,2ãäå âåëè÷èíû ζx , ζy , ζxx , ζxy , ζyy âû÷èñëÿþòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðîâDx = ∂x + ux ∂u + uxx ∂ux + uxy ∂uy ,Dy = ∂y + uy ∂u + uxy ∂ux + uyy ∂uyïî ôîðìóëàì (2.3):ζx = Dx η − ux Dx ξ x − uy Dx ξ y = uy ,ζy = Dy η − ux Dy ξ x − uy Dy ξ y = −ux ,ζxx = Dx ζx − uxx Dx ξ x − uxy Dx ξ y = 2 uxy ,ζxy = Dy ζx − uxx Dy ξ x − uxy Dy ξ y = uyy − uxx ,ζyy = Dy ζy − uxy Dy ξ x − uyy Dy ξ y = −2 uxy . ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèé ïîëó÷àåì ïðîäîëæåííûé îïåðàòîðX = y∂x − x∂y + uy ∂ux − ux ∂uy + 2uxy ∂uxx + (uyy − uxx )∂uxy − 2uxy ∂uyy .2Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, âèä ïðîäîëæåííîãî îïåðàòîðà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò òîãî, â êàêîì ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîäèòñÿ ïðîäîëæåíèå.162.2Äèôôåðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ãðóïïûïðåîáðàçîâàíèéÄèôôåðåíöèàëüíûì èíâàðèàíòîì ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíò ïðîäîëæåííîãî äåéñòâèÿ ãðóïïû G, ò.å.

òàêàÿ ôóíêöèÿ F (x, u, u, . . . , u), ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ T ∈ G âûïîëíåíîÎïðåäåëåíèå 11.1kF (T x, T u, T u, . . . , T u) = F (x, u, u, . . . , u).1 11kkkÏîðÿäîê k ñàìîé ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé, âõîäÿùåé â èíâàðèàíò F , íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì äèôôåðåíöèàëüíîãî èíâàðèàíòà. Äèôôåðåíöèàëüíûìè èíâàðèàíòàìè íóëåâîãî ïîðÿäêà ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûå èíâàðèàíòû ãðóïïû G. Äèôôåðåíöèàëüíûì èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèåì ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèå â ïðîäîëæåííîì ïðîñòðàíñòâå Z ,kèíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ïðîäîëæåííîãî äåéñòâèÿ ãðóïïû G.Äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ è äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé ñïðàâåäëèâû êðèòåðèèèíâàðèàíòíîñòè (1.5), (1.7) â êîòîðûõ âìåñòî îïåðàòîðà X ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïðîäîëæåííûé îïåðàòîð X .Ðàññìàòðèâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ëèáî ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäàE : F σ (x, u, u, .

. . , u) = 0,1kσ = 1, . . . , s.k(2.7)Óðàâíåíèÿ (2.7) îïðåäåëÿþò ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé k -ãî ïîðÿäêà äëÿ m èñêîìûõ ôóíêöèé u îò níåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x. Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ñèñòåìà (2.7) çàäàåò íåêîòîðîå ìíîãîîáðàçèå â ïðîäîëæåííîì ïðîñòðàíñòâå Z . Ýòî ìíîãîîáðàçèå, êàê è ñàìó ñèñòåìó, ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì E .  äàëüíåéøåì ìûkáóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå ôóíêöèè F σ , ó÷àñòâóþùèå â îïðåäåëåíèè ñèñòåìû E , ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè èìíîãîîáðàçèå E â ïðîñòðàíñòâå Z çàäàíî óðàâíåíèÿìè (2.7) ðåãóëÿðíî.kÃîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé E äîïóñêàåò ëîêàëüíóþ ãðóïïó íåïðåðûâíûõïðåîáðàçîâàíèé G åñëè ìíîãîîáðàçèå E ⊂ Z ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèåì ãðóïïû G,kò.å.Îïðåäåëåíèå 12.X E(x, u, u, ..., u)|E = 0.k1k17 äàëüíåéøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òàêæå òåðìèí ¾äîïóñêàåìûé îïåðàòîð¿, ïîäðàçóìåâàÿ ïîä ýòèì èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð äîïóñêàåìîé ãðóïïû.

Îñíîâíîå ñâîéñòâî äîïóñêàåìîé ãðóïïû âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.Ãðóïïà G, äîïóñêàåìàÿ ñèñòåìîé E , äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå ðåøåíèé ýòîé ñèñòåìû, ò.å. ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû E èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû G.Òåîðåìà 7.Çàìå÷àíèå 1. Äåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâå ðåøåíèé ñèñòåìû E ìîæíî ïîëîæèòü â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ äîïóñêàåìîéãðóïïû. À èìåííî, ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà E äîïóñêàåò ëîêàëüíóþ ãðóïïó íåïðåðûâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé G åñëè ëþáîåðåøåíèå ñèñòåìû E ïîä äåéñòâèåì ïðîèçâîëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðóïïû G âíîâü ïåðåõîäèò â ðåøåíèå ñèñòåìû E .Ýòè äâà îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû â ñëó÷àå ñèñòåì, íàõîäÿùèõñÿ â èíâîëþöèè (â ÷àñòíîñòè, äëÿ ñèñòåì òèïà ÊîøèÊîâàëåâñêîé, îðòîíîìíûõ ñèñòåì Ðèêüå è ïðî÷èõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâàòåîðåìà ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè).2.3Óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþùèå çàäàííóþ ãðóïïóÄàíà ëîêàëüíàÿ ãðóïïà íåïðåðûâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé G1 , äåéñòâóþùàÿ â ïðîñòðàíñòâå Z = Rn (x)×Rm (u).

Òðåáóåòñÿîïèñàòü âñå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äî k -ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî, äîïóñêàþùèå ãðóïïó G1 . Äëÿ ðåøåíèÿïîñòàâëåííîé çàäà÷è òðåáóåòñÿ íàéòè áàçèñ äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû G äî k -ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî:I 1 (x, u), . . . , I n+m−1 (x, u),J 1 (x, u, u), . . . , J n+m+nm−1 (x, u, u),1(2.8)1...K 1 (x, u, u, . . .

, u), . . . , K νk −1 (x, u, u, . . . , u).11kkÏðîèçâîëüíûå ôóíêöèîíàëüíûå ñâÿçè ìåæäó èíâàðèàíòàìè (2.8) îïðåäåëÿþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþùèå ãðóïïó G1 .Çàìå÷àíèå 2. Ïðèâåäåííûé àëãîðèòì ïîêàçûâàåò, ÷òî â îïðåäåëåíèè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþùåãîçàäàííóþ ãðóïïó, èìååòñÿ î÷åíü áîëüøîé ïðîèçâîë. Îáû÷íî ïðè ôîðìóëèðîâêå ïîäîáíûõ çàäà÷ èñïîëüçóþò äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà ñòðóêòóðó èñêîìîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.18Ïðèìåð 8. Äàäèì îïèñàíèå âñåõ îäíîðîäíûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äî 2-ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî.