1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 7

PDF-файл 1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 7 Групповой анализ дифференциальных уравнений (108069): Книга - 7 семестр1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)) - PDF, страница 7 (108069) - СтудИзба2021-07-16СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Учебное пособие (Головин, Чесноков)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "групповой анализ дифференциальных уравнений" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 7 страницы из PDF

Êîñîñèììåòðè÷íîñòü ïî íèæíèì èíäåêñàì: Cijk = −Cjimll2. Òîæäåñòâî ßêîáè: Cijl Clk+ CjkClim + CkiCljm = 0.Êîììóòàòîðû áàçèñíûõ îïåðàòîðîâ (3.2) óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå òàáëèöû êîììóòàòîðîâ òàáëèöû óìíîæåíèÿ âàëãåáðå Ëè.Ñîâîêóïíîñòü îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïîñòðîåííûõ äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà èç àëãåáðû Ëè Lr , íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíîé r-ïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïîé Ëè ïðåîáðàçîâàíèé Gr .Îïðåäåëåíèå 17.Ïðèìåð 16. Òðåõìåðíàÿ àëãåáðà Ëè L3 ïîðîæäåíà îïåðàòîðàìèX1 = ∂ x ,X2 = ∂y ,X3 = y∂x − x∂y .Òàáëèöà êîììóòàòîðîâ èìååò âèäX1X2X3X1 X2X300 −X200X1X2 −X1 0411122= 1.

Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèÿ Ëè (1.2)= −C32= −1, C23= −C31Íåíóëåâûå ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ñëåäóþùèå: C13äëÿ êàæäîãî èç áàçèñíûõ îïåðàòîðîâ L3 íàõîäèì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ òðåõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Ëè G3 ÿâëÿåòñÿãðóïïîé äâèæåíèé ïëîñêîñòè è ïîðîæäàåòñÿ ñëåäóþùèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè:X1 :X2 :X3 :x = x + a1 , y = y;x = x, y = y + a2 ;x = x cos a3 + y sin a3 , y = −x sin a3 + y cos a3 .Ëþáîå ïðåîáðàçîâàíèå ãðóïïû G3 ïîëó÷àåòñÿ â âèäå êîìïîçèöèè ïåðå÷èñëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé.3.2Èíâàðèàíòíû ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèõ ãðóïï Ëè è ïîëíûõ ñèñòåì îïåðàòîðîâ ïðîñòðàíñòâå Rn èìååòñÿ r-ìåðíàÿ àëãåáðà Ëè Lr = {X1 , .

. . , Xr }. Åé ñîîòâåòñòâóåò r-ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ëîêàëüíàÿãðóïïà Ëè Gr . Èçëîæåííûå âûøå ôàêòû è îïðåäåëåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê èíâàðèàíòàì è èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèÿìîäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ãðóïï Ëè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïåðåíîñÿòñÿ íà ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèå ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé.Ôóíêöèÿ F (x) 6= const íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì ãðóïïû Gr åñëè äëÿ ëþáîãî T ∈ Gr èìååò ìåñòîòîæäåñòâî F (T x) = F (x).Îïðåäåëåíèå 18.(êðèòåðèé èíâàðèàíòíîñòè ôóíêöèè). Ôóíêöèÿ F (x) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ãðóïïû Gr åñëè è òîëüêîåñëè âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿÒåîðåìà 9∂F= 0, α = 1, . .

. , r.(3.3)∂xiÎïåðàòîðû X1 , . . . , Xr íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî ñâÿçàííûìè åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð ôóíêöèéXα F ≡ ξαi (x)Îïðåäåëåíèå 19.ϕα (x), ÷òîϕα (x)Xα ≡ 0.(3.4)Åñëè æå ðàâåíñòâî (3.4) âîçìîæíî òîëüêî ïðè ϕα (x) ≡ 0, α = 1, . . . , r, òî îïåðàòîðû X1 , . . . , Xr íàçûâàþòñÿ ëèíåéíîíå ñâÿçàííûìè.Îïðåäåëåíèå 20.Îïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûìè åñëè îíè ëèíåéíî ñâÿçàíû è ϕα = const, α = 1, . . . , r.42Ïðèìåð 17. Îïåðàòîðû, ïîðîæäàþùèå ãðóïïó âðàùåíèé â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå SO(3)X1 = z∂y − y∂z ,X2 = x∂z − z∂x ,X3 = y∂x − x∂yëèíåéíî íåçàâèñèìû, íî ëèíåéíî ñâÿçàíû. Äåéñòâèòåëüíî, xX1 + yX2 + zX3 ≡ 0.Îïåðàòîðû X1 , . .

. , Xr îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó (= íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè), åñëè îíè ëèíåéíîíå ñâÿçàíû è ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð ôóíêöèé ϕσαβ (x), ÷òî âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿÎïðåäåëåíèå 21.[Xα , Xβ ] = ϕσαβ Xσ ,α, β = 1, . . . , r.(3.5)Ïîëíàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ÿêîáèåâîé, åñëè ϕσαβ ≡ 0.Çàìå÷àíèå 3. Åñëè ñèñòåìà îïåðàòîðîâ {X1 , . .

. , Xr } ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì íåêîòîðîé àëãåáðû Ëè, òî ýòà ñèñòåìà (ïîñëåîòáðàñûâàíèÿ ëèíåéíî ñâÿçàííûõ îïåðàòîðîâ) ïîëíà. Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âåðíî.Ïîëíàÿ ñèñòåìà îïåðàòîðîâ {X1 , . . . , Xr } â ïðîñòðàíñòâå Rn èìååò ðîâíî n − r ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâ.Òåîðåìà 10.Êàæäàÿ ñèñòåìà ëèíåéíî íå ñâÿçàííûõ îïåðàòîðîâ X1 , .

. . , Xr ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê ïîëíîé è ÿêîáèåâîé. Äëÿýòîãî íóæíî:1. Ñîñòàâèòü âñå êîììóòàòîðû [Xα , Xβ ].2. Åñëè [Xα , Xβ ] = ϕσαβ Xσ äëÿ âñåõ α, β = 1, . . . , r, òî ñèñòåìà ïîëíà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ïîïîëíèòü ñèñòåìó íîâûìè îïåðàòîðàìè, êîòîðûå íå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç {Xα }: Xr+1 = [Xα , Xβ ], Xr+2 = [Xσ , Xτ ],... Êðàñøèðåííîé òàêèì îáðàçîì ñèñòåìå îïåðàòîðîâ âíîâü ïðèìåíèòü àëãîðèòì íà÷èíàÿ ñ øàãà 1. ïðîñòðàíñòâå Rn ÷èñëî ëèíåéíî íå ñâÿçàííûõ îïåðàòîðîâ íå ìîæåò ïðåâîñõîäèòü n, ïîýòîìó çà êîíå÷íîå ÷èñëîøàãîâ áóäåò ïîëó÷åíà ïîëíàÿ ñèñòåìà.3. Ïðåîáðàçîâàòü ïîëíóþ ñèñòåìó îïåðàòîðîâ ê ÿêîáèåâîé ïóòåì ñîñòàâëåíèÿ íåâûðîæäåííûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé îïåðàòîðîâ âèäà Xα0 = ωαβ (x) Xβ , det ||ωαβ || 6= 0.

Öåëüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå ýêâèâàëåíòíîé43ñèñòåìû îïåðàòîðîâ ñ ìàòðèöåé èç êîýôôèöèåíòîâ âèäà1 0 0 1 ... ...0 0ξ 0 1r+1ξ 0 2r+1... 0... 0... ... .... . . 1 ξ 0 rr+1ξ 0 1nξ 0 2n......... .... . . ξ 0 rn(3.6)Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ àëãîðèòìà ïîëíàÿ ÿêîáèåâà ñèñòåìà îïåðàòîðîâ X10 , . . . , Xr0 0 ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé â òîì ñìûñëå, ÷òî ìíîæåñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû (3.3) äëÿ íèõ ñîâïàäàþò.Ïðèìåð 18.  ïðîñòðàíñòâå R5 (t, x, y, u, v) ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà îïåðàòîðîâX1 = ∂y + t∂x + ∂u ,X2 = y∂x − x∂y + v∂u − u∂v .Òðåáóåòñÿ ïðèâåñòè ýòó ñèñòåìó îïåðàòîðîâ ê ïîëíîé è ÿêîáèåâîé.Îïåðàòîðû X1 , X2 ëèíåéíî íå ñâÿçàíû, ïîñêîëüêórank0 t 1 1 00 y −x v −u= 2.Âû÷èñëåíèå êîììóòàòîðà äàåò[X1 , X2 ] = ∂x − t∂y − ∂v .Ýòîò îïåðàòîð ëèíåéíî íå ñâÿçàí ñ X1 , X2 .

Çíà÷èò íåîáõîäèìî ïîïîëíèòü ñèñòåìó íîâûì îïåðàòîðîì X3 = ∂x −t∂y −∂v .Ïîäñ÷åò êîììóòàòîðîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ñèñòåìà îïåðàòîðîâ {X1 , X2 , X3 } ïîëíà. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿÿêîáèåâîé, ïîñêîëüêó [X1 , X2 ] = X3 , [X2 , X3 ] = X1 . Äëÿ ïðèâåäåíèÿ åå ê ÿêîáèåâîé ñîñòàâèì ñëåäóþùèå ëèíåéíûå44êîìáèíàöèè:t1t1X1 + 2X3 = ∂x + 2∂u − 2∂v ,t +1t +1t +1+11t1tX1 − 2X3 = ∂ y + 2∂u + 2∂v ,X20 = 2t +1t +1t +1t +1tX1 + X3X1 − tX3X30 = X2 − y 2+x 2=t +1 t +1 tx + yx − ty∂u + −u + 2∂v .= v+ 2t +1t +1X10 =t2Ñèñòåìà îïåðàòîðîâ X10 , X20 , X30 ÿêîáèåâà, õîòÿ è íå èìååò îêîí÷àòåëüíî âèä (3.6).

 ýòîì ìîæíî óáåäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé.Äëÿ íàõîæäåíèÿ èíâàðèàíòîâ ïîëíîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ X1 , . . . , Xr íåîáõîäèìî ðåøèòü ïåðåîïðåäåëåííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (3.3). Óñëîâèå ïîëíîòû îáåñïå÷èâàåò ñîâìåñòíîñòü ýòîé ñèñòåìû. Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ èíâàðèàíòîâïîëíîé ÿêîáèåâîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ ñëåäóþùèé.1. Ñäåëàåì ïðåîáðàçîâàíèå, ïðèâîäÿùåå îïåðàòîð X1 ê îïåðàòîðó ïåðåíîñà ïî ïåðåìåííîé y1 .  ñîîòâåòñòâèè ñòåîðåìîé î âûïðÿìëåíèè îïåðàòîðà â êà÷åñòâå íîâûõ êîîðäèíàò y âûáèðàþòñÿ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûåðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèéXy 1 (x) = 1,Xy i (x) = 0,i = 2, .

. . , n.(3.7)Â ðåçóëüòàòå çàìåíû èç èíâàðèàíòíîñòè ôóíêöèè F îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà X1 ñëåäóåò, ÷òî F = F (y2 , . . . , yn ).2. Ïðîèçâîäèì òó æå çàìåíó (x) ↔ (y) â îñòàëüíûõ îïåðàòîðàõ ïîëíîé ñèñòåìû. Èç îáùåé òåîðèè ñëåäóåò, ÷òîîïåðàòîðû X2 , . . . , Xr â íîâûõ ïåðåìåííûõ èìåþò âèäXα = ϕα (y) ξ˜α1 (y)∂y1 + ξ˜α2 (y 2 , .

. . , y n )∂y2 + . . . +n 2n˜+ξα (y , . . . , y )∂yn , α = 2, . . . , r.453. Îòáðàñûâàÿ ìíîæèòåëè ϕα (y) è ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü ôóíêöèè F îò y 1 ïîëó÷àåì íîâóþ ñèñòåìó èç r − 1îïåðàòîðîâYα = ξ˜α2 (y 2 , . . . , y n )∂y2 + . . . + ξ˜αn (y 2 , . . . , y n )∂yn , α = 2, . . . , r,äåéñòâóþùèõ â ïðîñòðàíñòâå Rn−1 (y 2 , .

. . , y n ). Ïðèâåäÿ ýòó ïîëíóþ ñèñòåìó îïåðàòîðîâ ê ÿêîáèåâîé, âíîâü ïåðåõîäèì ê øàãó 1.Âûïîëíåíèå äàííîãî àëãîðèòìà ïîñëå r-òîé èòåðàöèè äàñò íàáîð îïåðàòîðîâ {Zα = ∂z α , α = 1, . . . , r}. Åñëè r < n, òîèíâàðèàíòàìè ýòîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå z r+1 , . . . , z n . Çàïèñûâàÿ èõ âûðàæåíèÿ÷åðåç èñõîäíûå ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì èñêîìûé íàáîð I 1 = z r+1 (x), . . . , I n−r = z n (x) èíâàðèàíòîâ îïåðàòîðîâ X1 , ..., Xr .Åñëè r = n, òî èíâàðèàíòàìè èñõîäíîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ áóäóò òîëüêî êîíñòàíòû.Çàìå÷àíèå 4.

Âû÷èñëèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü äàííîãî àëãîðèòìà çàâèñèò îò ïîðÿäêà, â êîòîðîì âûáèðàþòñÿ îïåðàòîðû.Ïðèìåð 19. Íàéòè èíâàðèàíòû ïîëíîé ÿêîáèåâîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ X10 , X20 , X30 , ïîñòðîåííîé â ïðèìåðå 18.Âíà÷àëå îñóùåñòâèì çàìåíó ïåðåìåííûõ, ¾âûïðÿìëÿþùóþ¿ îïåðàòîð X10 .

Èíâàðèàíòàìè ýòîãî îïåðàòîðà ÿâëÿþòñÿâåëè÷èíû t, y , tx − (t2 + 1)u, x + (t2 + 1)v . Íîâûå ïåðåìåííûå âûáèðàþòñÿ â âèäåy 1 = x, y 2 = t, y 3 = y, y 4 = tx − (t2 + 1)u, y 5 = x + (t2 + 1)v.Èñõîäíûå îïåðàòîðû ïåðåïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Y1 = ∂y1 ,Y2 = ∂y3 − ∂y4 + y 2 ∂y5 ,Y3 = (y 2 y 3 − y 5 )∂y4 + (y 3 + y 4 )∂y5 .Ñèñòåìà îïåðàòîðîâ Y2 , Y3 ÿâëÿåòñÿ ÿêîáèåâîé.  ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåííûõ R4 (y 2 , .

. . , y 5 ) îïåðàòîð Y2 èìååò èíâàðèàíòû y 2 , y 3 + y 4 , y 2 y 3 − y 5 . Ââîäèì çàìåíó ïåðåìåííûõ, ¾âûïðÿìëÿþùóþ¿ îïåðàòîð Y2 :z1 = y3,z2 = y2,z3 = y3 + y4, íîâûõ ïåðåìåííûõZ2 = ∂z 1 ,Z3 = z 4 ∂z 3 − z 3 ∂z 4 .46z4 = y2y3 − y5.Íàêîíåö, îïåðàòîð Z3 â ïðîñòðàíñòâå R3 (z 2 , z 3 , z 4 ) èìååò èíâàðèàíòû z 2 , (z 3 )2 + (z 4 )2 . Ïåðåïèñûâàÿ ýòè èíâàðèàíòûâ èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì èíâàðèàíòû èñõîäíîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ:I1 = z 2 = t,22I2 = (z 3 )2 + (z 4 )2 = y + tx − (t2 + 1)u + ty − x − (t2 + 1)v .3.3Áàçèñ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû Ëè ïðåîáðàçîâàíèéÇàäàíà ëîêàëüíàÿ ãðóïïà Ëè Gr ïðåîáðàçîâàíèé, äåéñòâóþùèõ â Rn . Îíà çàäàåòñÿ ñâîåé àëãåáðîé Ëè Lr = {X1 , .

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее