1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 7

Êîñîñèììåòðè÷íîñòü ïî íèæíèì èíäåêñàì: Cijk = −Cjimll2. Òîæäåñòâî ßêîáè: Cijl Clk+ CjkClim + CkiCljm = 0.Êîììóòàòîðû áàçèñíûõ îïåðàòîðîâ (3.2) óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå òàáëèöû êîììóòàòîðîâ òàáëèöû óìíîæåíèÿ âàëãåáðå Ëè.Ñîâîêóïíîñòü îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïîñòðîåííûõ äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà èç àëãåáðû Ëè Lr , íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíîé r-ïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïîé Ëè ïðåîáðàçîâàíèé Gr .Îïðåäåëåíèå 17.Ïðèìåð 16. Òðåõìåðíàÿ àëãåáðà Ëè L3 ïîðîæäåíà îïåðàòîðàìèX1 = ∂ x ,X2 = ∂y ,X3 = y∂x − x∂y .Òàáëèöà êîììóòàòîðîâ èìååò âèäX1X2X3X1 X2X300 −X200X1X2 −X1 0411122= 1.

Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèÿ Ëè (1.2)= −C32= −1, C23= −C31Íåíóëåâûå ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ñëåäóþùèå: C13äëÿ êàæäîãî èç áàçèñíûõ îïåðàòîðîâ L3 íàõîäèì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ òðåõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Ëè G3 ÿâëÿåòñÿãðóïïîé äâèæåíèé ïëîñêîñòè è ïîðîæäàåòñÿ ñëåäóþùèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè:X1 :X2 :X3 :x = x + a1 , y = y;x = x, y = y + a2 ;x = x cos a3 + y sin a3 , y = −x sin a3 + y cos a3 .Ëþáîå ïðåîáðàçîâàíèå ãðóïïû G3 ïîëó÷àåòñÿ â âèäå êîìïîçèöèè ïåðå÷èñëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé.3.2Èíâàðèàíòíû ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèõ ãðóïï Ëè è ïîëíûõ ñèñòåì îïåðàòîðîâ ïðîñòðàíñòâå Rn èìååòñÿ r-ìåðíàÿ àëãåáðà Ëè Lr = {X1 , .

. . , Xr }. Åé ñîîòâåòñòâóåò r-ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ëîêàëüíàÿãðóïïà Ëè Gr . Èçëîæåííûå âûøå ôàêòû è îïðåäåëåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê èíâàðèàíòàì è èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèÿìîäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ãðóïï Ëè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïåðåíîñÿòñÿ íà ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèå ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé.Ôóíêöèÿ F (x) 6= const íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì ãðóïïû Gr åñëè äëÿ ëþáîãî T ∈ Gr èìååò ìåñòîòîæäåñòâî F (T x) = F (x).Îïðåäåëåíèå 18.(êðèòåðèé èíâàðèàíòíîñòè ôóíêöèè). Ôóíêöèÿ F (x) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ãðóïïû Gr åñëè è òîëüêîåñëè âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿÒåîðåìà 9∂F= 0, α = 1, . .

. , r.(3.3)∂xiÎïåðàòîðû X1 , . . . , Xr íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî ñâÿçàííûìè åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð ôóíêöèéXα F ≡ ξαi (x)Îïðåäåëåíèå 19.ϕα (x), ÷òîϕα (x)Xα ≡ 0.(3.4)Åñëè æå ðàâåíñòâî (3.4) âîçìîæíî òîëüêî ïðè ϕα (x) ≡ 0, α = 1, . . . , r, òî îïåðàòîðû X1 , . . . , Xr íàçûâàþòñÿ ëèíåéíîíå ñâÿçàííûìè.Îïðåäåëåíèå 20.Îïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûìè åñëè îíè ëèíåéíî ñâÿçàíû è ϕα = const, α = 1, . . . , r.42Ïðèìåð 17. Îïåðàòîðû, ïîðîæäàþùèå ãðóïïó âðàùåíèé â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå SO(3)X1 = z∂y − y∂z ,X2 = x∂z − z∂x ,X3 = y∂x − x∂yëèíåéíî íåçàâèñèìû, íî ëèíåéíî ñâÿçàíû. Äåéñòâèòåëüíî, xX1 + yX2 + zX3 ≡ 0.Îïåðàòîðû X1 , . .

. , Xr îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó (= íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè), åñëè îíè ëèíåéíîíå ñâÿçàíû è ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð ôóíêöèé ϕσαβ (x), ÷òî âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿÎïðåäåëåíèå 21.[Xα , Xβ ] = ϕσαβ Xσ ,α, β = 1, . . . , r.(3.5)Ïîëíàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ÿêîáèåâîé, åñëè ϕσαβ ≡ 0.Çàìå÷àíèå 3. Åñëè ñèñòåìà îïåðàòîðîâ {X1 , . .

. , Xr } ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì íåêîòîðîé àëãåáðû Ëè, òî ýòà ñèñòåìà (ïîñëåîòáðàñûâàíèÿ ëèíåéíî ñâÿçàííûõ îïåðàòîðîâ) ïîëíà. Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âåðíî.Ïîëíàÿ ñèñòåìà îïåðàòîðîâ {X1 , . . . , Xr } â ïðîñòðàíñòâå Rn èìååò ðîâíî n − r ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâ.Òåîðåìà 10.Êàæäàÿ ñèñòåìà ëèíåéíî íå ñâÿçàííûõ îïåðàòîðîâ X1 , .

. . , Xr ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê ïîëíîé è ÿêîáèåâîé. Äëÿýòîãî íóæíî:1. Ñîñòàâèòü âñå êîììóòàòîðû [Xα , Xβ ].2. Åñëè [Xα , Xβ ] = ϕσαβ Xσ äëÿ âñåõ α, β = 1, . . . , r, òî ñèñòåìà ïîëíà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ïîïîëíèòü ñèñòåìó íîâûìè îïåðàòîðàìè, êîòîðûå íå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç {Xα }: Xr+1 = [Xα , Xβ ], Xr+2 = [Xσ , Xτ ],... Êðàñøèðåííîé òàêèì îáðàçîì ñèñòåìå îïåðàòîðîâ âíîâü ïðèìåíèòü àëãîðèòì íà÷èíàÿ ñ øàãà 1. ïðîñòðàíñòâå Rn ÷èñëî ëèíåéíî íå ñâÿçàííûõ îïåðàòîðîâ íå ìîæåò ïðåâîñõîäèòü n, ïîýòîìó çà êîíå÷íîå ÷èñëîøàãîâ áóäåò ïîëó÷åíà ïîëíàÿ ñèñòåìà.3. Ïðåîáðàçîâàòü ïîëíóþ ñèñòåìó îïåðàòîðîâ ê ÿêîáèåâîé ïóòåì ñîñòàâëåíèÿ íåâûðîæäåííûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé îïåðàòîðîâ âèäà Xα0 = ωαβ (x) Xβ , det ||ωαβ || 6= 0.

Öåëüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå ýêâèâàëåíòíîé43ñèñòåìû îïåðàòîðîâ ñ ìàòðèöåé èç êîýôôèöèåíòîâ âèäà1 0 0 1 ... ...0 0ξ 0 1r+1ξ 0 2r+1... 0... 0... ... .... . . 1 ξ 0 rr+1ξ 0 1nξ 0 2n......... .... . . ξ 0 rn(3.6)Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ àëãîðèòìà ïîëíàÿ ÿêîáèåâà ñèñòåìà îïåðàòîðîâ X10 , . . . , Xr0 0 ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé â òîì ñìûñëå, ÷òî ìíîæåñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû (3.3) äëÿ íèõ ñîâïàäàþò.Ïðèìåð 18.  ïðîñòðàíñòâå R5 (t, x, y, u, v) ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà îïåðàòîðîâX1 = ∂y + t∂x + ∂u ,X2 = y∂x − x∂y + v∂u − u∂v .Òðåáóåòñÿ ïðèâåñòè ýòó ñèñòåìó îïåðàòîðîâ ê ïîëíîé è ÿêîáèåâîé.Îïåðàòîðû X1 , X2 ëèíåéíî íå ñâÿçàíû, ïîñêîëüêórank0 t 1 1 00 y −x v −u= 2.Âû÷èñëåíèå êîììóòàòîðà äàåò[X1 , X2 ] = ∂x − t∂y − ∂v .Ýòîò îïåðàòîð ëèíåéíî íå ñâÿçàí ñ X1 , X2 .

Çíà÷èò íåîáõîäèìî ïîïîëíèòü ñèñòåìó íîâûì îïåðàòîðîì X3 = ∂x −t∂y −∂v .Ïîäñ÷åò êîììóòàòîðîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ñèñòåìà îïåðàòîðîâ {X1 , X2 , X3 } ïîëíà. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿÿêîáèåâîé, ïîñêîëüêó [X1 , X2 ] = X3 , [X2 , X3 ] = X1 . Äëÿ ïðèâåäåíèÿ åå ê ÿêîáèåâîé ñîñòàâèì ñëåäóþùèå ëèíåéíûå44êîìáèíàöèè:t1t1X1 + 2X3 = ∂x + 2∂u − 2∂v ,t +1t +1t +1+11t1tX1 − 2X3 = ∂ y + 2∂u + 2∂v ,X20 = 2t +1t +1t +1t +1tX1 + X3X1 − tX3X30 = X2 − y 2+x 2=t +1 t +1 tx + yx − ty∂u + −u + 2∂v .= v+ 2t +1t +1X10 =t2Ñèñòåìà îïåðàòîðîâ X10 , X20 , X30 ÿêîáèåâà, õîòÿ è íå èìååò îêîí÷àòåëüíî âèä (3.6).

 ýòîì ìîæíî óáåäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé.Äëÿ íàõîæäåíèÿ èíâàðèàíòîâ ïîëíîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ X1 , . . . , Xr íåîáõîäèìî ðåøèòü ïåðåîïðåäåëåííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (3.3). Óñëîâèå ïîëíîòû îáåñïå÷èâàåò ñîâìåñòíîñòü ýòîé ñèñòåìû. Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ èíâàðèàíòîâïîëíîé ÿêîáèåâîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ ñëåäóþùèé.1. Ñäåëàåì ïðåîáðàçîâàíèå, ïðèâîäÿùåå îïåðàòîð X1 ê îïåðàòîðó ïåðåíîñà ïî ïåðåìåííîé y1 .  ñîîòâåòñòâèè ñòåîðåìîé î âûïðÿìëåíèè îïåðàòîðà â êà÷åñòâå íîâûõ êîîðäèíàò y âûáèðàþòñÿ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûåðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèéXy 1 (x) = 1,Xy i (x) = 0,i = 2, .

. . , n.(3.7)Â ðåçóëüòàòå çàìåíû èç èíâàðèàíòíîñòè ôóíêöèè F îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà X1 ñëåäóåò, ÷òî F = F (y2 , . . . , yn ).2. Ïðîèçâîäèì òó æå çàìåíó (x) ↔ (y) â îñòàëüíûõ îïåðàòîðàõ ïîëíîé ñèñòåìû. Èç îáùåé òåîðèè ñëåäóåò, ÷òîîïåðàòîðû X2 , . . . , Xr â íîâûõ ïåðåìåííûõ èìåþò âèäXα = ϕα (y) ξ˜α1 (y)∂y1 + ξ˜α2 (y 2 , .

. . , y n )∂y2 + . . . +n 2n˜+ξα (y , . . . , y )∂yn , α = 2, . . . , r.453. Îòáðàñûâàÿ ìíîæèòåëè ϕα (y) è ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü ôóíêöèè F îò y 1 ïîëó÷àåì íîâóþ ñèñòåìó èç r − 1îïåðàòîðîâYα = ξ˜α2 (y 2 , . . . , y n )∂y2 + . . . + ξ˜αn (y 2 , . . . , y n )∂yn , α = 2, . . . , r,äåéñòâóþùèõ â ïðîñòðàíñòâå Rn−1 (y 2 , .

. . , y n ). Ïðèâåäÿ ýòó ïîëíóþ ñèñòåìó îïåðàòîðîâ ê ÿêîáèåâîé, âíîâü ïåðåõîäèì ê øàãó 1.Âûïîëíåíèå äàííîãî àëãîðèòìà ïîñëå r-òîé èòåðàöèè äàñò íàáîð îïåðàòîðîâ {Zα = ∂z α , α = 1, . . . , r}. Åñëè r < n, òîèíâàðèàíòàìè ýòîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå z r+1 , . . . , z n . Çàïèñûâàÿ èõ âûðàæåíèÿ÷åðåç èñõîäíûå ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì èñêîìûé íàáîð I 1 = z r+1 (x), . . . , I n−r = z n (x) èíâàðèàíòîâ îïåðàòîðîâ X1 , ..., Xr .Åñëè r = n, òî èíâàðèàíòàìè èñõîäíîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ áóäóò òîëüêî êîíñòàíòû.Çàìå÷àíèå 4.

Âû÷èñëèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü äàííîãî àëãîðèòìà çàâèñèò îò ïîðÿäêà, â êîòîðîì âûáèðàþòñÿ îïåðàòîðû.Ïðèìåð 19. Íàéòè èíâàðèàíòû ïîëíîé ÿêîáèåâîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ X10 , X20 , X30 , ïîñòðîåííîé â ïðèìåðå 18.Âíà÷àëå îñóùåñòâèì çàìåíó ïåðåìåííûõ, ¾âûïðÿìëÿþùóþ¿ îïåðàòîð X10 .

Èíâàðèàíòàìè ýòîãî îïåðàòîðà ÿâëÿþòñÿâåëè÷èíû t, y , tx − (t2 + 1)u, x + (t2 + 1)v . Íîâûå ïåðåìåííûå âûáèðàþòñÿ â âèäåy 1 = x, y 2 = t, y 3 = y, y 4 = tx − (t2 + 1)u, y 5 = x + (t2 + 1)v.Èñõîäíûå îïåðàòîðû ïåðåïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Y1 = ∂y1 ,Y2 = ∂y3 − ∂y4 + y 2 ∂y5 ,Y3 = (y 2 y 3 − y 5 )∂y4 + (y 3 + y 4 )∂y5 .Ñèñòåìà îïåðàòîðîâ Y2 , Y3 ÿâëÿåòñÿ ÿêîáèåâîé.  ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåííûõ R4 (y 2 , .

. . , y 5 ) îïåðàòîð Y2 èìååò èíâàðèàíòû y 2 , y 3 + y 4 , y 2 y 3 − y 5 . Ââîäèì çàìåíó ïåðåìåííûõ, ¾âûïðÿìëÿþùóþ¿ îïåðàòîð Y2 :z1 = y3,z2 = y2,z3 = y3 + y4, íîâûõ ïåðåìåííûõZ2 = ∂z 1 ,Z3 = z 4 ∂z 3 − z 3 ∂z 4 .46z4 = y2y3 − y5.Íàêîíåö, îïåðàòîð Z3 â ïðîñòðàíñòâå R3 (z 2 , z 3 , z 4 ) èìååò èíâàðèàíòû z 2 , (z 3 )2 + (z 4 )2 . Ïåðåïèñûâàÿ ýòè èíâàðèàíòûâ èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì èíâàðèàíòû èñõîäíîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ:I1 = z 2 = t,22I2 = (z 3 )2 + (z 4 )2 = y + tx − (t2 + 1)u + ty − x − (t2 + 1)v .3.3Áàçèñ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû Ëè ïðåîáðàçîâàíèéÇàäàíà ëîêàëüíàÿ ãðóïïà Ëè Gr ïðåîáðàçîâàíèé, äåéñòâóþùèõ â Rn . Îíà çàäàåòñÿ ñâîåé àëãåáðîé Ëè Lr = {X1 , .