1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 11

Âûðàçèì èçïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (5.12) ôóíêöèþ B = (A − A2 − 2h0 )/A0 è ïîäñòàâèì âî âòîðîå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷åíîóðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè A(z):(A2 − A + 2h0 )A00 + (A − 1)A02 = 0.Äàëåå ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ìíîãî÷ëåí A2 −A+2gh0 è ïîìåíÿåì ðîëÿìè ïåðåìåííûå z è A. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå,÷òî!!dA=dzdzdA−1,d2 Adz=−2dzdAìû ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ−3d2 z,dA2d2 zdz(A − λ1 )(A − λ2 ) 2 + (1 − A)= 0,dAdA√√ãäå λ1 = (1 − 1 − 8h0 )/2, λ2 = (1 + 1 − 8h0 )/2 (0 < h0 < 1/8). Äëÿ óäîáñòâà èíòåãðèðîâàíèÿ ñäåëàåì çàìåíóτ = (A − λ1 )/(λ2 − λ1 ) è ïðèâåäåì ïîñëåäíåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ê âèäó!2dzλ2dzτ (1 − τ ) 2 + τ −= 0.(5.13)dτλ2 − λ1 dτ67Îäèí ðàç èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (5.13), íàõîäèì ôóíêöèþζ(τ ) ≡dz= C1 τ a−1 (1 − τ )b−1 ,dτa=2 − 3λ1,λ2 − λ1b=1 − 3λ1.λ2 − λ1Ó÷èòûâàÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ z(0) = 0 è z(1) = 1, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ôóíêöèè z(τ )τZζ(τ 0 ) dτ 0z(τ ) =0Z!−11ζ(τ ) dτ0Âåðíåìñÿ ê ïåðåìåííûì (A, z) è èñïîëüçóÿ íåïîëíóþ áåòà-ôóíêöèþ β(τ, a, b) âûïèøåì ðåøåíèå ôàêòîðñèñòåìû (5.12)â íåÿâíîì âèäå:z(A) =1β( λA−λ, a, b)2 −λ1β(a, b),B(z) ≡ B̄(A) = −(A − λ1 )(A − λ2 )z 0 (A).Îòìåòèì, ÷òî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ B(0) = B(1) = 0 âûïîëíåíû, òàê êàê z(λ1 ) = 0, z(λ2 ) = 1.

 ðåçóëüòàòå îáðàùåíèÿìîíîòîííîé ôóíêöèè z = z(A) è ïîäñòàíîâêè â (5.11) ïîëó÷àåì èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé âèõðåâîé ìåëêîéâîäû (5.10).5.2Ñâîéñòâà ôàêòîðñèñòåìûE/HÏðåäïîëîæèì, ÷òî èñõîäíàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé E äîïóñêàåò ãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé G. Âûáåðåì èç íåå íåêîòîðóþ ïîäãðóïïó H ⊂ G (òî æå ñàìîå, ïîäàëãåáðó H ⊂ L â äîïóñêàåìîé àëãåáðå Ëè) è ïîñòðîèìôèàêòîðñèñòåìó E/H (ìû ïðåäïîëàãàåì âûïîëíåííûìè íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ H -ðåøåíèÿ). Âîçíèêàåò âîïðîñ, êàêóþ ÷àñòü èñõîäíîé ãðóïïû ¾óíàñëåäóåò¿ ôàêòîðñèñòåìà? Èíûìè ñëîâàìè, êàêàÿ ÷àñòü èç îïåðàòîðîâñîîòâåòñòâóþùåé àëãåáðû Ëè L áóäåò äîïóñêàòüñÿ óðàâíåíèÿìè E/H ?Òåîðåìà 21.Ôàêòîðñèñòåìà E/H äîïóñêàåò ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîðîæäåííûå ôàêòîðàëãåáðîé Nor L H/H .Âîîáùå ãîâîðÿ, ôàêòîðñèñòåìà E/H ìîæåò äîïóñêàòü è êàêèå-òî íîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, íå íàñëåäóåìûå èç èñõîäíîé ãðóïïû (íåêîòîðûå àâòîðû íàçûâàþò òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêðûòûìè ñèììåòðèÿìè èñõîäíûõ óðàâíåíèé).68Îäíàêî, òåîðåìà 21 äàåò òó ÷àñòü ãðóïïû, êîòîðàÿ çàâåäîìî áóäåò äîïóñêàòüñÿ ïîäìîäåëüþ.

Ýòî âàæíî, òàê êàê ôàêòîðñèñòåìà, äîïóñêàþùàÿ áîëåå øèðîêóþ ãðóïïó, ïðîùå äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà.  ñèëó òåîðåìû 7 íà ñòðàíèöå 18äîïóñêàåìàÿ ãðóïïà G äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé E .Îïðåäåëåíèå 44.Ïîäãðóïïû H è H 0 , ñîäåðæàùèåñÿ â G ïîäîáíû åñëè ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå T ∈ G, ñ êîòîðûìH 0 = T HT −1 .Åñëè ïîäãðóïïû H è H 0 ïîäîáíû è H 0 = T HT −1 , òî äëÿ ëþáîãî H -èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ Φ ðåøåíèåΦ0 = T Φ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì H 0 -ðåøåíèåì.Òåîðåìà 22.Òàêèì îáðàçîì, ïîäîáíûå ïîäãðóïïû ïîðîæäàþò ïîäîáíûå èíâàðèàíòíûå ðåøåíèÿ. ßñíî, ÷òî îòäåëüíî âû÷èñëÿòüèíâàðèàíòíûå ðåøåíèÿ, ïîðîæäàåìûå ïîäîáíûìè ïîäìîäåëÿìè íåò ñìûñëà âñå îíè ïîëó÷àþòñÿ èç îäíîãî äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèé äîïóñêàåìîé ãðóïïû.

 ýòîé ñâÿçè âîçíèêàåò çàäà÷à ïåðå÷èñëåíèÿ âñåõ íå ïîäîáíûõ ïîäãðóïïäîïóñêàåìîé ãðóïïû. Íèæå îíà áóäåò ðåøåíà íà ÿçûêå àëãåáð Ëè ïóòåì ïîñòðîåíèÿ òàê íàçûâàåìîé îïòèìàëüíîéñèñòåìû ïîäàëãåáð ïîëíîãî íàáîðà íå ïîäîáíûõ ïîäàëãåáð äîïóñêàåìîé àëãåáðû Ëè.5.3×àñòè÷íî èíâàðèàíòíûå ðåøåíèÿÎáîáùåíèå ïîíÿòèÿ èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ.Ðåøåíèå Φ íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíûìH -ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé E , åñëè ìíîãîîáðàçèå Φ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèåì ïîäãðóïïûH ⊂ Gr .Îïðåäåëåíèå 45.Íà ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíûå ðåøåíèÿ ïåðåíîñÿòñÿ ïîíÿòèÿ ðàíãà è äåôåêòà, îïðåäåëåííûå ðàíåå äëÿ ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé. Îäíàêî, çäåñü îíè èìåþò íåêîòîðóþ ñïåöèôèêó, ñâÿçàííóþ ñ ðàçäåëåíèåì ðîëåé ïåðåìåííûõx è u.Ñ îáîçíà÷åíèÿìè (5.3) ââåäåì ñëåäóþùèå öåëî÷èñëåííûå õàðàêòåðèñòèêè ïîäãðóïïû H :t = m + n − r∗ îáùåå êîëè÷åñòâî èíâàðèàíòîâ ãðóïïû H ;σ = n − r∗ (ξ) êîëè÷åñòâî èíâàðèàíòîâ ãðóïïû, çàâèñÿùèõ òîëüêî îò íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x;µ = t − σ êîëè÷åñòâî èíâàðèàíòîâ, ñóùåñòâåííî çàâèñÿùèõ îò èñêîìûõ ôóíêöèé u.69×àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå, çàäàííîå â âèäå ìíîãîîáðàçèÿ Φ ôîðìóëàìè (5.2), èìååò êîðàçìåðíîñòü s = m.Ïîýòîìó ðàíã ìíîãîîáðàçèÿ Φ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (3.17) â âèäå ρ = δ + t − m.

Îðáèòà ìíîãîîáðàçèÿ Φ åñòüèíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå ãðóïïû H , ïîýòîìó åå óðàâíåíèÿ çàäàþòñÿ â âèäå íåêîòîðîé ôóíêöèîíàëüíîé ñâÿçè âèäà(3.15) ìåæäó èíâàðèàíòàìè ãðóïïû. Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíâàðèàíòû ãðóïïû çàïèñàíû â ðàçäåëåííîìâèäå(I:Ïðè ýòîìI 1 (x, u), . . . , I µ (x, u),λ1 = I t−σ+1 (x), . . . , λσ = I t (x).∂ I 1 (x, u), . . . , I µ (x, u)î.ð.= µ.∂ u1 , . . .

, um(5.14)(5.15)Âíà÷àëå ñôîðìèðóåì óðàâíåíèÿ îðáèòû ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ Φ ïîä äåéñòâèåì ãðóïïû H . Äëÿýòîãî íåîáõîäèìî çàäàòü ðàíã ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ.  êà÷åñòâå ðàíãà ìîæíî âçÿòü ëþáîå öåëîå÷èñëî ρ, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàìσ ≤ ρ < min{n, t}.(5.16)Óðàâíåíèÿ îðáèòû f (Φ, H) êîíñòðóèðóþòñÿ â âèäå ñëåäóþùåãî íàáîðà ôóíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé ìåæäó èíâàðèàíòàìè(5.14) ãðóïïû H :Φτ (λ1 , . . . , λσ , I 1 , . . .

, I t−σ ) = 0, τ = 1, . . . , t − ρ.(5.17)Ðàçìåðíîñòü òàêîãî ìíîãîîáðàçèÿ â ïðîñòðàíñòâå èíâàðèàíòîâ åñòü ρ. Óðàâíåíèÿ (5.17) óäîáíî ïðåäñòàâèòü â ðàçðåøåííîì âèäå. Ïðè ýòîì ðàçëè÷àþòñÿ äâà ñëó÷àÿ: σ = ρ è σ < ρ.×àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ãðóïïû H ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì, åñëè ρ = σ .Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà ðàíã ðåøåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì èíâàðèàíòîâ ãðóïïû H , çàâèñÿùèõ òîëüêî îò x.×àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ íåðåãóëÿðíûì, åñëè ρ > σ .Îïðåäåëåíèå 46.Äëÿ ðåãóëÿðíûõ ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíûõ ðåøåíèé ïðåäñòàâëåíèå (5.17) â ðàçðåøåííîì âèäå òàêîâî:I k (x, u) = U k λ1 (x), .

. . , λσ (x) ,70k = 1, . . . , µ.(5.18)Äåôåêò ðåøåíèÿ åñòü δ = m − µ. Äëÿ âûÿñíåíèÿ ñìûñëà äåôåêòà ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ çàìåòèì, ÷òîâ ñèëó óñëîâèÿ (5.15) ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè ñîîòíîøåíèÿ (5.18) ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî µ < mèñêîìûõ ôóíêöèé ui . Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ôóíêöèè u1 , . . . , uµ . Îñòàëüíûå δ = m − µôóíêöèé ui , i = µ + 1, . .

. , m íå ïîëó÷àþò ïðåäñòàâëåíèÿ ÷åðåç èíâàðèàíòû ãðóïïû H è èçíà÷àëüíî íå îáðåìåíÿþòñÿíèêàêèìè äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè. Òàêèì îáðàçîì, ïîÿâëÿåòñÿ δ íå èíâàðèàíòíûõ ôóíêöèé, êîòîðûå èçíà÷àëüíîñ÷èòàþòñÿ çàâèñÿùèìè ïðîèçâîëüíî îò âñåõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ:(5.19)uµ+1 = v 1 (x), . . . , um = v δ (x).Ôîðìóëû (5.18), (5.19) çàäàþò ïðåäñòàâëåíèå ðåãóëÿðíîãî ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ òèïà (ρ, δ). íåðåãóëÿðíîì ñëó÷àå èíâàðèàíòîâ λ íåäîñòàòî÷íî äëÿ ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ â ðàçðåøåííîìâèäå. Óäîáíî ââåñòè ρ − σ âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé v 1 (x), .

. . , v ρ−σ (x). Òîãäà óðàâíåíèÿ (5.17) îðáèòû ìíîãîîáðàçèÿΦ ïðåäñòàâëÿþòñÿ â ðàçðåøåííîì âèäå ñëåäóþùèì îáðàçîì:I k (x, u) = U k λ1 (x), . . . , λσ (x), v 1 (x), . . . , v ρ−σ (x) ,k = 1, . . . , µ.(5.20)Ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè ëåâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (5.20) ìîãóò áûòü ðàçðåøåíû îòíîñèòåëüíî µ ôóíêöèé u1 , .

. . , uµ .Òàêèì îáðàçîì, δ îñòàâøèõñÿ ôóíêöèé íå ïîëó÷àþò èíâàðèàíòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è ñ÷èòàþòñÿ çàâèñÿùèìè îò âñåõíåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ:uµ+1 = v ρ−σ+1 (x), . . . , um = v δ (x).(5.21)Ôîðìóëû (5.20), (5.21) ôîðìèðóþò ïðåäñòàâëåíèå íåðåãóëÿðíîãî ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ òèïà (ρ, σ). Ïðåäñòàâëåíèå íåðåãóëÿðíîãî ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ ñëîæíåå, ÷åì ðåãóëÿðíîãî ïîòîìó, ÷òî èíâàðèàíòíûå ôóíêöèè U k â ïðåäñòàâëåíèè (5.20) çàâèñÿò îò âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé v j .Ïîäñòàíîâêà ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ (5.6), (5.19) èëè (5.20), (5.21) â èñõîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (5.1) ïðèâîäèòê ôàêòîðñèñòåìå äëÿ èíâàðèàíòíûõ ôóíêöèé U k , k = 1, . .

. , µ è íå èíâàðèàíòíûõ ôóíêöèé v j , j = 1, . . . , δ . Ýòàñèñòåìà èìååò ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå îò ôàêòîðñèñòåìû, ïîëó÷àåìîé äëÿ èíâàðèàíòíûõ ðåøåíèé. Ôàêòîðñèñòåìà÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ èìååò âèä ñîîòíîøåíèé E/H , ñâÿçûâàþùèõ òîëüêî èíâàðèàíòíûå ôóíêöèè è èõàðãóìåíòû, à òàêæå óðàâíåíèé Π, â êîòîðûå âõîäÿò íå èíâàðèàíòíûå ôóíêöèè. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Π ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïåðåîïðåäåëåííàÿ ñèñòåìà äëÿ íå èíâàðèàíòíûõ ôóíêöèé v j , ïðè èçâåñòíûõ èç ñèñòåìû E/H ôóíêöèÿõ U k .71Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû Π, âîîáùå ãîâîðÿ, áóäóò ïîïîëíÿòü êàê èíâàðèàíòíóþ ÷àñòü E/H , òàê è ñàìó ñèñòåìóΠ. Öåëüþ èññëåäîâàíèÿ íà äàííîì ýòàïå ÿâëÿåòñÿ ïðèâåäåíèå ñèñòåìû Π â èíâîëþöèþ, ò.å. ïîëó÷åíèå âñåõ åå óñëîâèéñîâìåñòíîñòè è äîêàçàòåëüñòâî íåïðîòèâîðå÷èâîñòè. Ê ñîæàëåíèþ, â îáùåì âèäå ïðîñëåäèòü ýòîò ïðîöåññ íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Åñëè ýòîò øàã ñäåëàí, òî ôàêòîðñèñòåìà îêîí÷àòåëüíî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îáúåäèíåíèÿïîäñèñòåìû E/H òîëüêî äëÿ èíâàðèàíòíûõ ôóíêöèé è ñîâìåñòíîé íà ðåøåíèÿõ E/H ñèñòåìû Π äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèíâàðèàíòíûõ ôóíêöèé.

Ðåäóöèðîâàííàÿ òàêèì îáðàçîì ñèñòåìà, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîùå èñõîäíûõ óðàâíåíèé, òàê êàêñèñòåìà E/H ñîäåðæèò ìåíüøåå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, à ñèñòåìà Π ìåíüøåå ÷èñëî èñêîìûõ ôóíêöèé,÷åì èñõîäíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé E .Âàæíóþ ðîëü â ïîñòðîåíèè ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíûõ ðåøåíèé èãðàåò ïîíÿòèå ðåäóêöèè. Ïóñòü äàíà ïîäãðóïïàH ⊂ G, ïîðîæäàþùàÿ ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå U ðàíãà ρ è äåôåêòà δ . Ìîæåò íàéòèñü ïîäãðóïïà H 0 ⊂ H ,ïîðîæäàþùàÿ òî æå ðåøåíèå U íî óæå êàê ðåøåíèå ðàíãà ρ0 è äåôåêòà δ 0 .  ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 15 íà ñòðàíèöå52 âûïîëíåíî ρ0 ≥ ρ è δ 0 ≤ δ .Ãîâîðÿò, ÷òî H -÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå ðàíãà ρ è äåôåêòà δ ðåäóöèðóåòñÿ ê ÷àñòè÷íîèíâàðèàíòíîìó ðåøåíèþ îòíîñèòåëüíî ïîäãðóïïû H 0 ⊂ H ðàíãà ρ0 è äåôåêòà δ 0 åñëè ýòè ðåøåíèÿ ñîâïàäàþò èâûïîëíåíî ρ0 = ρ, δ 0 < δ .

 ñëó÷àå δ 0 = 0 ãîâîðÿò î ðåäóêöèè ê èíâàðèàíòíîìó ðåøåíèþ.Îïðåäåëåíèå 47.Óñòàíîâëåíèå ðåäóêöèè ðåøåíèÿ ïîëåçíî, ïîñêîëüêó ïîñòðîåíèå ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ ìåíüøåãî äåôåêòà çíà÷èòåëüíî ïðîùå òåõíè÷åñêè. Íèæå ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíûõ ðåøåíèé äëÿìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä.Ïðèìåð 29. Ðàññìàòðèâàþòñÿ óðàâíåíèÿ ìåëêîé âîäû, îïèñûâàþùèå ïðîñòðàíñòâåííûå äâèæåíèÿ òîíêîãî ñëîÿ èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè íàä ðîâíûì äíîì â ïîëå ñèëû òÿæåñòèut + uux + vuy + ghx = 0,vt + uvx + vvy + ghy = 0,ht + (uh)x + (vh)y = 0.(5.22)Çäåñü (u, v) âåêòîð ñêîðîñòè, h ãëóáèíà æèäêîñòè, g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòèïîëàãàåì g = 1.