1625915148-b186598a185138b990576f78f82027f5 (Аркашов, Ковалевский 2014 - Теория вероятностей и случайные процессы)
Описание файла
PDF-файл из архива "Аркашов, Ковалевский 2014 - Теория вероятностей и случайные процессы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÍ.Ñ. ÀÐÊÀØÎÂ, À.Ï. ÊÎÂÀËÅÂÑÊÈÉÒåîðèÿ âåðîÿòíîñòåéè ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÓòâåðæäåíî Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèìñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâåó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâíåìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåéâûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèéÍîâîñèáèðñê2014ÓÄÊ 519.21 (075.8)À 822Ðåöåíçåíòû:Â. È. Ëîòîâ,ïðîô. ÍÃÓ,ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê,, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô.,, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíòÀ. Ã. ÏèíóñÊ. À.
ÄæàôàðîâÐàáîòà ïîäãîòîâëåíà íà êàôåäðå âûñøåé ìàòåìàòèêèäëÿ ñòóäåíòîâ II êóðñàÀðêàøîâ Í. Ñ.À 822 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ñëó÷àéíûå ïðîöåññû: Ó÷åá. ïîñîáèå /Í. Ñ. Àðêàøîâ, À. Ï. Êîâàëåâñêèé. Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÍÃÒÓ,2014. 238 ñ.ISBN 978-5-7782-2382-0Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî äëÿ ñòóäåíòîâ II êóðñà î÷íîãî è çàî÷íîãî îòäåëåíèé âñåõ íàïðàâëåíèé è ñïåöèàëüíîñòåé, èçó÷àþùèõòàêèå ðàçäåëû âûñøåé ìàòåìàòèêè, êàê òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, â îáúåìå ñåìåñòðîâîãî êóðñà.Ïîñîáèå ñîäåðæèò òèïîâîé ðàñ÷åò.
 ïðèëîæåíèÿõ äàíû òàáëèöû âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Âñå çàìå÷àíèÿ ïî ñîäåðæàíèþ ïîñîáèÿ ïðîñèì ïåðåäàâàòü íà êàôåäðóâûñøåé ìàòåìàòèêè. Îíè áóäóò ñ áëàãîäàðíîñòüþ ïðèíÿòû è ó÷òåíû âñëåäóþùèõ èçäàíèÿõ.ÓÄÊ 519.21 (075.8)ISBN 978-5-7782-2382-0c⃝c⃝Àðêàøîâ Í. Ñ., Êîâàëåâñêèé À. Ï., 2014Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûéòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, 2014ÎãëàâëåíèåÃëàâà 1. Ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò, ñîáûòèÿ 1.1 Ñîáûòèÿ, îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè . . .
. . . . . . . . 1.2 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .Ãëàâà 2. Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü 2.1 Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè 2.2 Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè . . . . . . . . 2.3 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . 2.4 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ .................................779101212131920Ãëàâà 3. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü 3.1 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . .
. . . . . . . . . . . . . 3.2 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .24Ãëàâà 4. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè 4.1 Îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .28Ãëàâà 5. Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ 5.1 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . .
. . . . . . . . . . 5.2 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .31Ãëàâà 6. Íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ 6.1 Ôîðìóëû Áåðíóëëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .35324262828293132353637Ãëàâà 7. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè 7.1 Ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèé . . . . .
. . . . . . . . . . . . 7.2 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .39Ãëàâà 8. Ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 8.1 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ . . . 8.2 Äèñêðåòíîå è àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèÿ 8.3 Ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . .
. . . 8.4 Ãåíåðèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ ÷èñåë . . . . . . . . . . . . 8.5 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .45Ãëàâà 9. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå 9.1 Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Ìîìåíòû è äèñïåðñèÿ . . . . . . . . .
. . . . . . 9.3 ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ . 9.4 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . 9.5 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . .64Ãëàâà 10. 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5Ïðåäåëüíûå òåîðåìûÇàêîí áîëüøèõ ÷èñåë . . . . . . . . . . .Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà . . . .Òåîðåìà Ïóàññîíà .
. . . . . . . . . . . .Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . .Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ .Ãëàâà 11. Âûáîðêà. Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ 11.1 Âûáîðêà è âàðèàöèîííûé ðÿä . . . . . . 11.2 Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ, ãèñòîãðàììà . . . . . . . 11.3 Âûáîðî÷íûå ìîìåíòû . . . . .
. . . . . 11.4 Ñòàòèñòèêè è îöåíêè . . . . . . . . . . . 11.5 Îöåíêè ìåòîäîì ìîìåíòîâ . . . . . . . . 11.6 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . 11.7 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ ......................................................... . . . . . . .................................................394042454649555661646872737780808284899395959698100103104108Ãëàâà 12.Îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.Ñðàâíåíèå îöåíîê 12.1 Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ . .
. . . . . . .4111111 12.2 Ñðàâíåíèå îöåíîê:ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèé ïîäõîä . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .112115119Ãëàâà 13. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà â ïàêåòå Excel122 13.1 Ïðèìåð ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè . . . . .
. . . . . . 122 13.2 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . . 136Ãëàâà 14. Èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèå 14.1 Îïðåäåëåíèå äîâåðèòåëüíîãîèíòåðâàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Ðàñïðåäåëåíèÿ, ñâÿçàííûåñ íîðìàëüíûì . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Òî÷íûå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû . . . . . . 14.4 Àñèìïòîòè÷åñêèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû 14.5 Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ .
. . . . . . . . . 14.6 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . .137. . . . .137..................... 138. 139. 141. 142. 146Ñòàòèñòè÷åñêèå ãèïîòåçû . . . . . . . . . . . .Ñòàòèñòè÷åñêèå êðèòåðèè . . . . . . . . . . . .Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .Äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè . .
. . . . .Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ Êîëìîãîðîâà è χ2 ÏèðñîíàÐåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ . . . . . . . . . . .Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . ....................... 147. 148. 150. 151. 152. 155. 159...................... 161. 163. 163. 164. 164. 165. 166Ãëàâà 15. 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåçÃëàâà 16. 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7Ðåãðåññèîííûé àíàëèçÃëàâà 17. 17.1 17.2 17.3Ìàðêîâñêèå öåïè è ïðîöåññûËèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ . . . . . . . .
. . . . . . . .Êðèòåðèé Äàðáèíà-Âàòñîíà . . . . . . . . . . .Îáîáùåííûé ÌÍÊ . . . . . . . . . . . . . . . .Ìîäåëü àâòîðåãðåññèè . . . . . . . . . . . . . .Ìîäåëü ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî . . . . . . . . .Îöåíèâàíèå ìîäåëåé ñ çàâèñèìûìè îñòàòêàìèÇàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . .147Öåïè Ìàðêîâà. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìà . .
. . . . . . .Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè . . . . . . . . . . . .5161168168170171 17.4 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . .Ãëàâà 18.Òèïîâîé ðàñ÷åò171173Ïðèëîæåíèå. Òàáëèöû2336Ãëàâà 1Ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò, ñîáûòèÿ 1.1.Ñîáûòèÿ, îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìèÒåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé èçó÷àåò ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïîä ñëó÷àéíûì ïîäðàçóìåâàåòñÿ òàêîé ýêñïåðèìåíò, èñõîäû êîòîðîãî íåîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Ïðîñòåéøèìïðèìåðîì òàêîãî ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ ïîäáðàñûâàíèå ìîíåòû.  ýòîìýêñïåðèìåíòå âîçìîæíû ëèøü äâà èñõîäà: âûïàäåíèå ¾ãåðáà¿ èëè ¾ðåøåòêè¿, ïðè ýòîì òî÷íî ïðåäñêàçàòü ðåçóëüòàò äî ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàíåâîçìîæíî.Ñî âñÿêèì ñëó÷àéíûì ýêñïåðèìåíòîì ìîæíî ñâÿçàòü ìíîæåñòâîΩ = {ω} âñåõ åãî âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ èñõîäîâ.
Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, à åãî ýëåìåíòû ýëåìåíòàðíûìè èñõîäàìè. Ðåçóëüòàòîì ïðîâåäåíèÿ ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòàÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûé ýëåìåíòàðíûé èñõîä ω ∈ Ω. Ñîáûòèÿìè íàçûâàþòïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω. Âûðàæåíèå ¾ïðîèçîøëî ñîáûòèå A¿ îçíà÷àåò ω ∈ A, ãäå ω ýëåìåíòàðíûé èñõîä, ÿâèâøèéñÿ ðåçóëüòàòîì ýêñïåðèìåíòà. Ëþáîå ¾ñîáûòèå¿ â îáû÷íîì ïîíèìàíèè,òî åñòü ëþáîé èñõîä ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíîíåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì A ⊆ Ω ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå ïðîñòðàíñòâàýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ.
 äàëüíåéøåì íå áóäåì ðàçëè÷àòü ¾ñîáûòèÿ¿ âîáû÷íîì ïîíèìàíèè è ñîáûòèÿ ïîäìíîæåñòâà Ω.Ñîáûòèå íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì, åñëè â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòàîíî íåïðåìåííî ïðîèñõîäèò; ñîáûòèå íàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì, åñëè âðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà îíî íå ìîæåò ïðîèçîéòè; ñîáûòèå íàçûâàåòñÿñëó÷àéíûì, åñëè â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà îíî ìîæåò ïðîèçîéòè, à ìîæåò íå ïðîèçîéòè. Òàê êàê äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ω ñîîòíîøåíèå ω ∈ Ω èìååò ìåñòî âñåãäà, òî âñå ïðîñòðàíñòâî Ω ñîîòâåòñòâóåò äîñòîâåðíîìó ñîáûòèþ, ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ íåâîçìîæíîìó ñîáûòèþ,7ñîáñòâåííûå ïîäìíîæåñòâà A ⊂ Ω ïðåäñòàâëÿþò ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ.Ïóñòü A è B êàêèå-íèáóäü ñîáûòèÿ (ïîäìíîæåñòâà Ω).Îáúåäèíåíèåì, èëè ñóììîé, ýòèõ ñîáûòèé íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèåA ∪ B ìíîæåñòâ A è B. Ïåðåñå÷åíèåì èëè ïðîèçâåäåíèåì ñîáûòèé íàçûâàåòñÿ èõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå ïåðåñå÷åíèå . Àíàëîãè÷íî, ðàçíîñòüþ ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü A\B ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ.Ïðîòèâîïîëîæíûì ê ñîáûòèþ A íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèå A = Ω \ A ìíîæåñòâà A.Ïîÿâëåíèå ñîáûòèÿ A ∪ B â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíòàðíûé èñõîä ω ∈ A ∪ B , à ýòî èìååò ìåñòî, åñëè ω ∈ A èëè ω ∈ B .Ïîýòîìó ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå (ñóììà) ñîáûòèé ïðîèñõîäèòòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé.Àíàëîãè÷íî, ïåðåñå÷åíèå (ïðîèçâåäåíèå) ñîáûòèé ïðîèñõîäèò òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ýòè ñîáûòèÿ ïðîèñõîäÿò ñîâìåñòíî.Ðàçíîñòü A \ B ñîáûòèé ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàïðîèñõîäèò A, íî íå ïðîèñõîäèò B.Ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå A ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñàìî A íå ïðîèñõîäèò.Ãîâîðÿò, ÷òî ñîáûòèå A âëå÷åò ñîáûòèå B, èëè A ñîäåðæèòñÿâ B, åñëè A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì B: A ⊆ B .
Ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿðàâíûìè, èëè ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè ñîâïàäàþò êàê ìíîæåñòâà:A = B. Î÷åâèäíî, ÷òî A = B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîå èçýòèõ ñîáûòèé âëå÷åò äðóãîå.Îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå áîëåå ÷åì äâóõ ñîáûòèé îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî, ò.å. êàê îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîäìíîæåñòâ. Íàïðèìåð,n∞∪∩AkBnn=1k=1îçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî è ïåðåñå÷åíèå áåñêîíå÷íîãî (ñ÷åòíîãî) ìíîæåñòâà ñîáûòèé.Ñîáûòèÿ íàçûâàþò íåïåðåñåêàþùèìèñÿ, èëè íåñîâìåñòíûìè, åñëè èõ ïåðåñå÷åíèå åñòü íåâîçìîæíîå ñîáûòèå. Ñîáûòèÿ èç íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè A1 , A2 , ..., An , ... íàçûâàþò ïîïàðíî íåñîâìåñòíûìè, åñëèëþáûå äâà èç íèõ íåñîâìåñòíû, ò.å.
Ai ∩ Aj = ∅ ïðè i ̸= j.Ïîñêîëüêó ââåäåííûå îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè òîæäåñòâåííû ñîîòâåòñòâóþùèì îïåðàöèÿì íàä ìíîæåñòâàìè, òî îíè ïîä÷èíÿþòñÿ âñåì àêñèîìàì îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè:A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (êîììóòàòèâíîñòü);8A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C), A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C) (àññîöèàòèâíîñòü);A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (äèñòðèáóòèâíîñòü);∪nAn =∩nAn ,∩nAn =∪An(äâîéñòâåííîñòü);n(A) = A (îòðèöàíèå îòðèöàíèÿ).Çàìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ââåäåííûõ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ (ñóììû), ïåðåñå÷åíèÿ (ïðîèçâåäåíèÿ), ðàçíîñòè ñîáûòèé èñïîëüçóþòñÿ òàêæå òðàäèöèîííûå àëãåáðàè÷åñêèå ñèìâîëû: ¾+¿, ¾·¿, ¾−¿:A ∪ B = A + B, A ∩ B = AB, A \ B = A − B,n∪k=1 1.2.Ak =n∑Ak .k=1Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâÏðèìåð 1.1.