1625915144-a0b004e5d7d0e6e9b8f80b0c67f3317f (Лотов 2015 - Лекции по теории вероятностей для ММФ)

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé ÔåäåðàöèèÍîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÂ.È. ËîòîâËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉÓ÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãîôàêóëüòåòà ÍÃÓÍîâîñèáèðñê 20152Ñîäåðæàíèå1. Âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà. Îñíîâíûå ôîðìóëû1.1. Äèñêðåòíûå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .1.2. Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî îáùåãî âèäà . . . . . . . . . .1.3. Êîíòèíóàëüíûå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Ôîðìóëà äëÿ âåðîÿòíîñòè îáúåäèíåíèÿ ñîáûòèé . . . . . .1.5. Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .1.6. Ñõåìà Áåðíóëëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7. Ïðèáëèæåíèå Ïóàññîíà â ñõåìå Áåðíóëëè . . . . . . . . . .1.8. Ëîêàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà î íîðìàëüíîì ïðèáëèæåíèè1.9. Ïîëèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . .1.10. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .1.11. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.12. Ôîðìóëà Áàéåñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Ðàñïðåäåëåíèÿ2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ . . . .Òèïû ðàñïðåäåëåíèé. Ïðèìåðû . . . .

. . . . . . . . .Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è êëàññîâ ñîáûòèéÌíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè . . . . . . .Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . . . . . . . . . .......................................................................................................................................3.

×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèé3.1. Èíòåãðàë ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå. Ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Ìîìåíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Äèñïåðñèÿ . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé: ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåè ìàòðèöà êîâàðèàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . .

. .3.7. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû ñëó÷àéíîãî ÷èñëàñëàãàåìûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8. Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå . . . . . . . . . .3.9. Çàäà÷à î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè . . . . . . . . . .4. Ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ðàñïðåäåëåíèé.Ïðåäåëüíûå òåîðåìû4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.7.Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõÎ ñõîäèìîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé .

.Çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë . . . . . . . . . . . .Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ðàñïðåäåëåíèé . . . . . .Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè . . . . . . . .Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà . . . . . .Îöåíêà òî÷íîñòè â òåîðåìå Ïóàññîíà. . . . .5. Öåïè Ìàðêîâà55111517181921232425262728283140434550............................................50596062. . . . . . . . . .

. 63. . . . . . . . . . . 65. . . . . . . . . . . 67. . . . . . . . . . . 70. . . . . . . . . . . 72âåëè÷èí. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .......................................................................7373777981849094965.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2. Âîçâðàòíîñòü ñîñòîÿíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10136. Âåòâÿùèåñÿ ïðîöåññû7. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì1041077.1. Îáùèå îïðåäåëåíèÿ. Âèíåðîâñêèé ïðîöåññ . . . . . . .

. . . . . . . . . . 1077.2. Ïðîöåññ Ïóàññîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10941.1.1.Âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà. Îñíîâíûå ôîðìóëûÄèñêðåòíûå ïðîñòðàíñòâàÄî âîçíèêíîâåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ íàóêè áûëè ÿâëåíèÿ èëè îïûòû, â êîòîðûõ óñëîâèÿ ýêñïåðèìåíòà ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòåëþ îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü èñõîä ýêñïåðèìåíòà. Òàê, íàïðèìåð, â õèìèè: åñëè èçâåñòíû âåùåñòâà,âñòóïàþùèå â ðåàêöèþ, èõ ñâîéñòâà, óñëîâèÿ, â êîòîðûõ áóäåò ïðîòåêàòü ðåàêöèÿ,òî îäíîçíà÷íî ìîæíî ïðåäñêàçàòü èñõîä ðåàêöèè.

 ìåõàíèêå: åñëè èçâåñòíû ìàññàòåëà, âñå ñèëû, êîòîðûå íà íåãî äåéñòâóþò, êîîðäèíàòû è íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü, òîíåòðóäíî âû÷èñëèòü òðàåêòîðèþ ïîñëåäóþùåãî äâèæåíèÿ.Îäíàêî åñòü ðÿä ÿâëåíèé è ýêñïåðèìåíòîâ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñëó÷àéíûìè èêîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ íåâîçìîæíîñòüþ ïðåäñêàçàòü èõ èñõîä äî íà÷àëà ýêñïåðèìåíòà.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû.1.

Îäíîêðàòíîå ïîäáðàñûâàíèå ìîíåòû. Çäåñü âîçìîæíû äâà èñõîäà, èõ ïðèíÿòîîáîçíà÷àòü ¾Ã¿ (ãåðá) è ¾Ð¿ (ðåøêà).2. Îäíîêðàòíîå áðîñàíèå èãðàëüíîé êîñòè (ò. å. êóáèêà, ó êîòîðîãî íà ãðàíÿõíàíåñåíû ÷èñëà îò 1 äî 6). Çäåñü âîçìîæíû øåñòü èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà: 1, 2, 3, 4, 5, 6.3. Ïîäñ÷åò êîëè÷åñòâà âûçîâîâ, ïðèøåäøèõ â òå÷åíèå ÷àñà íà ÀÒÑ (àâòîìàòè÷åñêóþ òåëåôîííóþ ñòàíöèþ) äëÿ îáñëóæèâàíèÿ. Ïîñòóïèòü ìîæåò ëþáîå ÷èñëî âûçîâîâ: 0, 1, 2, . . . .4. Îïðåäåëåíèå âðåìåíè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïðèáîðà. Èñõîäîì ýòîãî ýêñïåðèìåíòà ìîæåò áûòü ëþáîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî èç [0, ∞).5.

Äâèæåíèå áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû íà ïëîñêîñòè â òå÷åíèå ìèíóòû.  ðåçóëüòàòåýòîãî ýêñïåðèìåíòà ìîæåò îñóùåñòâèòüñÿ ëþáàÿ èç áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òðàåêòîðèé.Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé, êàê è âñÿêàÿ äðóãàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ äèñöèïëèíà, ñòðîèò èèçó÷àåò ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü òåõ èëè èíûõ ÿâëåíèé, â äàííîì ñëó÷àå ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.Êàçàëîñü áû, êàêèå íàó÷íûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïîëó÷èòü îòíîñèòåëüíî ïîäáðàñûâàíèÿ ìîíåòû? Åñëè ïîäáðàñûâàíèå îäíîêðàòíîå, òî, äåéñòâèòåëüíî, ìàëî èíòåðåñíîãî ìîæíî ñêàçàòü. Íî åñëè, ê ïðèìåðó, ïîäáðàñûâàòü ìîíåòó n ðàç è ïîäñ÷èòàòüêîëè÷åñòâî Sn âûïàâøèõ ãåðáîâ, òî îêàæåòñÿ, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè n îòíîøåíèå Sn /nñòðåìèòñÿ ê 1/2.

Ýòîò ôàêò áûë çàìå÷åí äàâíî, ìíîãèå èññëåäîâàòåëè ýìïèðè÷åñêèìïóòåì åãî ïåðåïðîâåðÿëè. Òàê, â îïûòàõ ôðàíöóçñêîãî èññëåäîâàòåëÿ Áþôôîíà ìîíåòà áðîñàëàñü 4 040 ðàç, âûïàëî 2 048 ãåðáîâ, ÷òî ïðèâåëî ê ðåçóëüòàòó Sn /n = 0.507.Àíãëèéñêèé ñòàòèñòèê Ïèðñîí â 24 000 áðîñàíèÿõ ïîëó÷èë 12 012 ãåðáîâ, ïðè ýòîìSn /n = 0.5005.Îáíàðóæåííàÿ çàêîíîìåðíîñòü îäíà èç ïðîñòåéøèõ, îíà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåìòàê íàçûâàåìîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë. Ýòà è ðÿä äðóãèõ ïðåäåëüíûõ çàêîíîìåðíîñòåé áóäóò èçó÷åíû íàìè ïîçæå.À ïîêà çàéìåìñÿ ïîñòðîåíèåì ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.

Äëÿýòîãî íóæíî âûäåëèòü ó èçó÷àåìûõ ÿâëåíèé îáùèå ÷åðòû è íàäåëèòü èìè ìîäåëü.Ïðè ýòîì íàäî ïîñòàðàòüñÿ îòðàçèòü íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå ÷åðòû ðàññìàòðèâàåìûõÿâëåíèé è îòáðîñèòü íåñóùåñòâåííûå. Ìîäåëü íå äîëæíà áûòü ñëèøêîì ñëîæíîé,èíà÷å èçó÷àòü åå áóäåò çàòðóäíèòåëüíî.Êàêèå æå îáùèå ÷åðòû èìåþòñÿ ó ÿâëåíèé, ðàññìîòðåííûõ â ïðèìåðàõ 15?Ó êàæäîãî èç íèõ èìååòñÿ íåêîòîðûé íàáîð âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà. Áóäåì îáîçíà÷àòü åãî ãðå÷åñêîé áóêâîé Ω è íàçûâàòü ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ5èñõîäîâ. Ó êàæäîãî ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà îíî ñâîå ïîä÷åðêíåì ýòî.

Åñëè Ωêîíå÷íî èëè ñ÷åòíî, òî áóäåì íàçûâàòü åãî äèñêðåòíûì. Èç óæå ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðîâ äèñêðåòíûå ïðîñòðàíñòâà ïîÿâëÿþòñÿ â ïåðâûõ òðåõ. Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà Ωîáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè ω ñ èíäåêñàìè èëè áåç íèõ è íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè èñõîäàìè. Çàìåòèì, ÷òî, íåñìîòðÿ íà èñïîëüçîâàíèå ÷àñòî âñòðå÷àþùåãîñÿ âìàòåìàòèêå òåðìèíà ¾ïðîñòðàíñòâî¿, â íàøåì ñëó÷àå Ω âñåãî ëèøü àáñòðàêòíîåìíîæåñòâî (íå îáÿçàòåëüíî ÷èñëîâîé ïðèðîäû), íà ýòîì ìíîæåñòâå íå ââîäÿòñÿ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ, íåò òàì è îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà.Äàëåå íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ïàðàãðàôà ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêîäèñêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ.Ââåäåì ïîíÿòèå ñîáûòèÿ.

Âñå õîðîøî ïðåäñòàâëÿþò ñîáûòèå êàê íå÷òî ìîãóùååïðîèçîéòè èëè óæå ïðîèñõîäÿùåå. Íàì íóæíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ýòîãî ¾ïðîèñõîäÿùåãî¿.. Ñîáûòèÿìè íàçûâàþòñÿ ïðîèçâîëüíûå ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω.Îáîçíà÷àòü ðàçíûå ñîáûòèÿ áóäåì áóêâàìè A, B , C, . . . ñ èíäåêñàìè èëè áåç íèõ.Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñîáûòèå A ⊂ Ω ïðîèçîøëî, åñëè â ðåçóëüòàòå ñëó÷àéíîãîýêñïåðèìåíòà ðåàëèçîâàëñÿ îäèí èç ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ω ∈ A.Óáåäèìñÿ íà ïðèìåðàõ, ÷òî êàæäîå ïîäìíîæåñòâî Ω äåéñòâèòåëüíî ñîîòâåòñòâóåò îñóùåñòâëåíèþ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ â äàííîì ñëó÷àéíîì ýêñïåðèìåíòå.

Òàê, ïîäìíîæåñòâî {2, 4, 6} ⊂ Ω â ïðèìåðå 2 ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî â ðåçóëüòàòå áðîñàíèÿèãðàëüíîé êîñòè âûïàëî ÷åòíîå ÷èñëî î÷êîâ. Ðàññìîòðèì ýêñïåðèìåíò èç ïðèìåðà 3.Åñëè îïèñàòü çäåñü ñëîâàìè êàêîå-íèáóäü ñîáûòèå, ñêàæåì, ïîñòóïëåíèå íà ÀÒÑ íåìåíåå 10 âûçîâîâ çà ÷àñ, òî ÿñíî, ÷òî òàêîìó ñîáûòèþ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ìíîæåñòâî {10, 11, 12, . . .} ⊂ Ω.Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ⊂ Ω òàêæå, ïî îïðåäåëåíèþ, ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì, îíî íàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì (íèêîãäà íå ìîæåò ïðîèçîéòè). Âñå ïðîñòðàíñòâî Ω ⊂ Ω òîæååñòü ñîáûòèå, îíî íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ âîçìîæíûõ ñîáûòèéîáîçíà÷èì S , â äèñêðåòíîì ïðîñòðàíñòâå ýòî ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω.Åñëè èç ω ∈ A ñëåäóåò ω ∈ B , ò.