1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (Гинзбург 2012 - Основы квантовой механики (нерелятивистская теория)), страница 7

е.∫ ∗∫ψ (x)A(d/dx)ψ (x)dx = A∗ ((d/dx)ψ ∗ (x)) · ψ (x)dx.Интегрирование по частям даёт: A = −A∗ . Поэтому число A – чисто мнимое,и p̂x = −i~d/dx (1.7). (Множитель ~ получается из размерности и принципа соответствия, а знак «−» выбран в согласии со стандартной записью для плоскойволны в виде exp[−i(ωt − kx)].)В частности, при этом получается используемое ниже выражение для оператораконечного сдвига, эквивалентное (1.28а)Ûa = e ia p̂ /~ .(1.28б)Ясно, что операции сдвига образуют группу (Абелеву группу – для знакомыхс этой классификацией). Изложенное можно интерпретировать так, что сдвиги порождаются оператором импульса.

Поэтому иногда говорят, что оператор импульса– генератор группы сдвигов.Для свободного движения Ĥ = p̂ 2 /2m, и [Ĥ , p̂] = 0. Вследствие этого Ĥ и T̂aимеют совместные собственные функции вида ψE,λ = Ce ikx с собственными значениями E = ~2 k2 /2m и λ = e ika . Кроме того, и импульс коммутирует с Ĥ и с T̂aи имеет в этом состоянии собственное значение ~k.♢ Âîïðîñ.

Для свободного движения нередко используют другие собственные функции ψ = cos kx. Они не являются собственными функциями p̂. Какэто согласовать с предыдущим?§ 1.8.Соотношение неопределённостейОбсудим сначала некоторые факты из теории преобразований Фурье, изучавшейся в курсе функционального анализа. Там рассматривались функция f(x), определённая в «координатном» x-пространстве, и её Фурье-образ f̃ (k), определённыйв пространстве Фурье-параметров k. Эти функции с одинаковой полнотой определяют одну и ту же реальность (в физике это могут быть электромагнитное поле, полядавлений и температур в газе и т. п.). На том языке, которым мы владеем теперь, этифункции можно трактовать как представления единого «вектора состояния физической реальности» в x-пространстве и k-пространстве соответственно.

Доказывается фактически, что возможности одновременной фиксации какого-нибудь объектав этих двух пространствах взаимосвязаны в нижеследующем смысле. Определимсредние значения и дисперсии координаты x и параметра Фурье k соотношениями⟨⟩∫∫⟨x⟩ = x|f(x)|2 dx/ | f(x)|2 dx, ∆x 2 = (x − ⟨x⟩) 2 ,1.8. Соотношение неопределённостей27⟨⟩∫∫⟨k⟩ = k| f̃ (k)|2 dk/ | f̃ (k)|2 dk, ∆k2 = (k − ⟨k⟩) 2 .Произведение среднеквадратичных отклонений ∆x∆k ограничено снизу неравенством ∆x∆k > 1/2, которое в физике называют соотношением неопределённостей.Подобные неравенства в электродинамике и акустике выглядят как соотношения неопределённостей (координата – волновой вектор) и (время – частота).В современных курсах электромагнетизма обсуждаются эти соотношения и их физический смысл; использование этих соотношений позволяет выполнить некоторыеважные оценки.

Большинство полученных при этом выводов с очевидным изменением терминологии переносится и на квантовую механику. Ниже мы доказываеми обсуждаем подобные соотношения для квантовомеханических систем.• Рассмотрим пару эрмитовых операторов  и B̂, причём [Â, B̂] = i Ĉ. Определимсреднеквадратичноеотклонение величины A от среднего в состоянии√|n⟩: ∆A =⟨( − ⟨Â⟩) 2 ⟩. Выбрав какое-то состояние |n⟩, определим операторыÂ1 =  − ⟨A⟩ и B̂1 = B̂ − ⟨B⟩. Легко проверить, что [Â1 , B̂1 ] = i Ĉ и ⟨Â21 ⟩ = ∆A2 ,⟨B̂12 ⟩ = ∆B 2 . Образуем теперь состояние |m⟩ = (αÂ1 + i B̂1)|n⟩ и вычислим величину⟨m|m⟩ ≡ J(α) = ⟨n|(αÂ1 − i B̂1) (αÂ1 + i B̂1)|n⟩ =}{= ⟨n| α2 Â21 + iα(Â1 B̂1 − B̂1 Â1) + B̂12 |n⟩ = α2 (∆A) 2 − α⟨C⟩ + (∆B) 2 .По определению, получившаяся величина J(α) неотрицательна.

Но это – квадратичная форма по α, т. е. её дискриминант не может быть положительным, т. е. должнобыть 4(∆A) 2 (∆B) 2 > ⟨C⟩2 . Итак, имеет место соотношение неопределённостей:[A, B] = iC ⇒ ∆A · ∆B > |⟨C⟩|/2 .(1.29)[x̂, p̂] = i~ ⇒ ∆x · ∆p > ~/2 .(1.30)В частности,♢ Соотношению неопределённостей можно дать ещё и такое толкование.Состояние системы (вектор состояния) может быть описано с помощью волновых функций и в Â- и в B̂-представлении (т.

е. в представлениях собственныхвекторов этих операторов). Каждая из этих функций описывает свойства одной итой же физической системы. Поэтому естественно, что некоторые интегральные характеристики этих описаний (в нашем случае среднеквадратичные отклонения) взаимосвязаны. Эта связь и даётся соотношением неопределённостей. Иными словами,в квантовой теории соотношения неопределённостей являются следствием того, чтофизические величины описываются операторами, и эти операторы, вообще говоря,не коммутируют.♢ Соотношение (1.29) означает, что в состоянии, где разброс значений величиныA составляет ∆A, разброс ∆B значений величины B не меньше, чем |⟨C⟩|/ (2∆A).

Неможет существовать состояний с лучшей локализацией. В частности, для квантовойчастицы не существует понятия траектории, можно указать лишь трубку неопределённостей, внутри которой движется частица (расплывающийся волновой пакет).К примеру, невозможно одновременно измерить импульс и координату с высокойГлава 1. Основные понятия28точностью, и соотношение неопределённостей ограничивает снизу совокупную погрешность этих измерений.

Если приготовлено состояние, в котором частица локализована в небольшой области обычного пространства, то она быстро делокализуетсяза счёт разброса в импульсах. например, если свободный электрон локализоватьв объёме радиуса 10−8 см, то через секунду он почти равновероятно может бытьнайден в области радиусом 1500 км (а неопределённость положения макроскопического объекта – шарика от пинг-понга – увеличится на 1% за миллиарды лет).• Основой построения квантовой механики послужила нам волновая картина, вкоторой зависимость волновой функции от времени описывается хорошо знакомыммножителем e iωt ≡ e iEt/~ . Это описание распространяется на общий случай в гл.

2,где показано, что оператор энергии (гамильтониан) Ĥ (1.8) определяет эволюциюсистемы во времени так, что оператор энергии соотносится со временем так же, каки оператор импульса с координатой. Естественно поставить вопрос о существовании соответствующего соотношения неопределённостей.

Чтобы сделать это, следуетв дополнение к изучавшимся усреднениям по пространству (1.4) рассмотреть ещёи усреднение по времени. В соответствии с общим подходом, это усреднение следует сначала выполнять на конечном интервале времени, например, от 0 до T , а ужзатем переходить к пределу T → ∞.

Именно так определяется неопределённостьинтервала времени ∆t и получается соотношение неопределённостей энергия–время того же точно вида, что и в электродинамике:∆t · ∆E > ~/2 .(1.31)Это соотношение означает, в частности, что при измерении, длящемся время t,невозможно измерить энергию с точностью, лучшей чем ~/ (2t).

Полезно обсудитьв этой связи переход системы из состояния с энергией Ei в состояние с энергией E fпод действием света с такой частотой ω, что выполняется закон сохранения энергии~ω = E f − Ei . Если воздействие света на систему продолжается в течение конечного времени T , то сигнал не монохроматичен, спектр его частот размазан поинтервалу шириной ~/2T , и с той же погрешностью нарушается закон сохраненияэнергии (см. пример в разд. 15.6.2) 1 . Это существенно для явлений микромира, нодля явлений окружающей нас жизни характерная величина нарушений чудовищномала.

Так, при наблюдении в течение 0,001 секунды отклонения от закона сохраненияэнергии составляют ∼ 10−31 Дж. В большинстве классических задач такая неопределённость «тонет» в погрешности описания изолированной системы, доставляемойпренебрегаемым взаимодействием с окружением.Для нестабильной частицы с временем жизни τ (для неё вероятность|ψ|2 ∝ e −t/τ ) соотношение неопределённостей (1.31) означает, что энергию этойчастицы невозможно определить с точностью, лучшей ~/2τ , эта величина определяет ширину соответствующего уровня энергии (см. подробнее в разд. 2.8 и 15.6.2).• Оценки♢ Оценим энергию основного состояния гармонического осциллятора,Ĥ = p̂ 2 / (2m) + mω 2 x 2 /2.

Энергия есть среднее значение гамильтониана, т. е.1 Вообще справедливость закона сохранения энергии в любом случае ограничена значением ~ T , где/ UnTUn ∼ 4 × 1017 с. – время жизни Вселенной.1.8. Соотношение неопределённостейE = ⟨Ĥ ⟩ >29∆ p 2 mω 2 ∆x 2~2mω 2 ∆x 2+>+.2m28m∆x 22Минимум√ последнего выражения как функции от ∆x достигается при∆x ≡ x0 = ~/2mω, что даёт точную нижнюю границу E > ~ω /2.♢ Для основного состояния электрона в атоме водорода Ĥ = p̂ 2 / (2m) − e 2 /rполучаются не точные неравенства, а только оценки:⟩⟨E = ⟨Ĥ ⟩ > ∆ p 2 / (2m) − e 2 /r & ∆ p 2 / (2m) − e 2 ⟨1/∆r⟩ && ~2 / (8m∆r 2) − e 2 /⟨∆r⟩ > −me 4 /2~2 = −13, 6 ýÂ .Здесь по аналогии с тем, что имеет место для компонент векторов, мы использовалисправедливое только по порядку величины соотношение неопределённостей для длинвекторов ∆r∆p & ~ и считали, что ⟨1/r⟩ ≈ 1/∆r, получив ∆r ≈ ~2 /me 2 .Чему мы уже научились.

Напомним некоторые вопросы, не имеющие ответов в классической физике.1. В классической физике ничто не мешает электрону приблизиться сколь угодноблизко к ядру или вращаться на сколь угодно большом расстоянии от него. Соответственно, размеры атомов водорода и энергии их ионизации (энергия, которуюнадо сообщить атому, чтобы вырвать из него электрон) могут меняться от атомак атому. Не существует классических причин, почему в действительности все атомы и молекулы имеют некоторые, не очень большие размеры. Более того, все атомы одного сорта имеют одинаковые размеры. Одинаковы и энергии их ионизации.То же относится и ко всем молекулам одного сорта.2.

Согласно теореме Ирншоу, система заряженных частиц (например, электронов и ядер) не может быть стабильной. Устойчивым является состояние, когда либовсе заряды противоположного знака свалились друг на друга, образовав нейтральные объекты, либо все заряды разбегаются на предельно большие расстояния другот друга. Если этот вывод работает, наш мир, составленный из атомов (ядер и электронов) и молекул, не может существовать.3.

Электрон, вращающийся вокруг ядра, должен излучать и, быстро теряя энергию, падать на ядро. Этого не происходит.Рассмотренные примеры применения соотношения неопределённостей показывают, что квантовая теория даёт ответы на эти вопросы.А. Энергия атомной системы, описываемой каким-нибудь гамильтонианом,не может быть меньше некоторого значения. Состояние системы с наименьшей возможной энергией называют основным состоянием. Разумеется, это состояние абсолютно стабильно.