1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (Гинзбург 2012 - Основы квантовой механики (нерелятивистская теория)), страница 4

е.способ построения этой билинейной формы – правило обращения с полем, так чтосреднее значение величины A в состоянии∫ с полем F есть (индексы опущены)⟨A(t)⟩ = d 3 xF † ÂF.Можно также говорить, что физические величины описываются свёртками вектораF † с векторами ÂF , которые получаются из F действием операторов Â – в нашихпримерах – матриц 6 ⊗ 6.§ 1.2.Основные положения квантовой механикиЕстественное обобщение этой картины для квантовой теории выглядит следующим образом.

Наблюдаемые значения физических величин определяются билинейными формами от волновой функции. Каждой физической величине A соответствуетсвой способ построения этой билинейной формы – свой оператор Â(t), так что среднее значение величины A(t) в состоянии, описываемом волновой функцией ψ (x), есть∫⟨A(t)⟩ = d 3 xψ ∗ (x, t) Â(t)ψ (x, t) .(1.4)В электродинамике поля действительны, комплексная форма записи поля – технический прием (формальная причина действительности поля – в том, что оно измеримо,например, с помощью пробного заряда e). Напротив, в квантовой механике волноваяфункция непосредственно не измерима. Поэтому она не обязательно действительна.Новые черты квантовой механики(i) В большинстве случаев квантовая механика предсказывает не точные значения каких-то величин, а лишь их вероятности или средние значения. Никакие1.2.

Основные положения квантовой механики15уточнения условий опыта не могут сделать предсказания более точными, чем некоторые предельные значения. Этим квантовая теория принципиально отличается отклассической (например, молекулярной физики), в которой (статистическая) неопределённость возникает просто от недостаточности или неточности нашего знания.Простейший пример даёт дифракция света, проходящего через пару отверстий,если рассматривать свет как совокупность фотонов.

Один фотон, пройдя через этиотверстия, в конце концов провзаимодействует с одним светочувствительным иономпластинки и даст на ней тёмное пятнышко. Положение каждого пятнышка нельзяпредсказать, можно указать только вероятность его появления. Дифракционная картина возникает как сумма пятнышек от множества отдельных фотонов, распределение плотностей почернения отвечает упоминавшемуся распределению вероятностей,которое можно предсказать.Казалось бы, в каждом случае по положению пятна на фотопластинке можноуказать: этот фотон прошёл через отверстие 1, следующий – тоже через 1, а этот –через отверстие 2. Хорошо известно, что это не так – дифракционная картина припрохождении пары отверстий не совпадает с суммой картин от каждого из отверстий.Вообще, некоторые вопросы, которые кажутся естественными с классическойточки зрения, лишены точного смысла в квантовой теории.

Известный пример –это вопрос, какова скорость частицы в тот момент, когда она находится взаданной точке? Он схож с вопросом: Вы идёте с компанией друзей. Каковаскорость этой компании в тот момент, когда Вы проходите мимо двериданного кафе? На каждый из этих вопросов можно получить приближённый ответ.Отличие ситуации в квантовой механике от ситуации с компанией состоит в том, чтово втором случае можно сколь угодно хорошо организовать компанию и получитьответ с любой желаемой точностью. В квантовой теории неточность ответа является фундаментальным свойством.

Погрешности измерения координаты и импульсаневозможно одновременно сделать сколь угодно малыми, они связаны соотношением неопределённостей § 1.8, определяющим квантовый предел погрешностиизмерения, который нельзя превзойти с помощью усовершенствования приборов.(ii) Важной новой идеей квантовой механики является использование в её вычислениях, помимо привычных наблюдаемых величин, ещё и вспомогательных, принципиально ненаблюдаемых величин. Теория должна однозначно описывать наблюдаемые величины (такие, как энергии излучённых частиц, потоки рассеянныхчастиц и т. п.), но не обязана однозначно отвечать на любезные задающему вопросы о ненаблюдаемых объектах , и в частности , о промежуточном состоянии .В промежуточных построениях удобно использовать ненаблюдаемые величины.Описания ненаблюдаемых величин в разных подходах могут различаться.

Так, волновая функция определена с точностью до несущественного фазового множителя,и в задаче о собственных функциях нередко можно выбрать чисто действительное решение. Хорошую (хотя и неполную) аналогию представляет потенциал электрического поля. Измеримая величина – разность потенциалов, поэтому потенциалопределен неоднозначно – с точностью до константы, обычно мы договариваемсяпринимать за ноль значение потенциала на бесконечности.♢ О корпускулярно-волновом дуализме и т. п.

От изучающих квантовую механику и от обывателей (в частности, многих философов) нередко приходится слы-16Глава 1. Основные понятияшать вопрос – так электрон – это волна или частица?, как можно представить себе корпускулярно-волновой дуализм? Ответ состоит в том, что вопросыплохо поставлены.На малых расстояниях законы Природы имеют дело с новыми реальностями,которые не допускают классического описания. Мы же («потребители») описываемявления на привычном нам классическом языке, в котором, в частности, понятияволны и частицы представляются принципиально различными. (Это различие вызывало в XVII-XIX веках жаркие споры о природе света – волны это или частицы.В современном описании это противопоставление исчезло.) При описании некоторых явлений яснее проявляется волновая природа электрона, при описании других– корпускулярная, а иногда удобен синтез обоих описаний.Основные положения квантовой механики для изолированной системы.1.

Состояние описывается с помощью ненаблюдаемой величины – волновойфункции. Для изолированной системы это полное описание.2. Предсказания квантовой механики носят статистический характер.Предсказать можно только средние значения большой серии испытанийдля одинаково приготовленных систем.3. Динамические переменные описываются с помощью операторов так,что их (наблюдаемые)средние значения определяются соотношением ви∫да ⟨A(t)⟩ = d 3 xψ ∗ (x) Âψ (x) (1.4).4. Принцип суперпозиции: если могут реализоваться состояния, описываемые волновыми функциями ψ1 (x, t) и ψ2 (x, t), то может реализоватьсяи любая их линейная комбинация c1 ψ1 (x, t) + c2 ψ2 (x, t).5.

Принцип соответствия: результаты должны переходить в классические,когда величины размерности действия много больше ~.6. Пакетность: состояния непрерывного спектра системы (см. определенияниже) реализуются только в более или менее локализованных волновых пакетах (И. М. Гельфанд, В. М. Галицкий).Три замечания к основным положениям.(i) При классическом описании состояние частицы задаётся конечным наборомвеличин (координаты и импульсы).

Квантовое же состояние задаётся бесконечнымнабором чисел – волновой функцией, заданной на всем пространстве координат, илиимпульсов, или ещё каким-нибудь образом.(ii) Принцип суперпозиции означает, что уравнение, описывающее эволюциюволновой функции со временем, должно быть линейным по ψ (см. гл. 2).(iii) Постулат пакетности важен при понимании задач непрерывного спектра,см.

примечание на стр. 19 и составляет фактическую основу применений квантовоймеханики в задачах рассеяния, гл. 17, § 17.4.В приложении В даны ссылки на эксперименты, показывающие, что не существует динамической теории классического типа, содержащей некоторыепока не известные нам переменные (ñêðûòûå ïàðàìåòðû), в которой все результаты предсказываются однозначно, а квантовая механика с её вероятностными предсказаниями возникает как результат усреднения по этимскрытым параметрам (J.

S. Bell).1.3. Операторы физических величин I§ 1.3.17Операторы физических величин IСобственные значения λ и собственные функции ψ λ оператора  – эторешения уравненияÂψλ (x) = λψλ (x) .(1.5)Вообще если определено действие какого-то оператора Ĝ, то функция от этогооператора F(Ĝ) определяетсяследующим образом. Разложим функцию F(g) в ряд∑Маклорена: F(g) =fn g n . Тогда1 d n F def ∑F(Ĝ) =fn (Ĝ) n , fn =.(1.6)n! d g n g=0Таким способом определяется и произвольная функция от оператора координаты илиимпульса. В частности, действие оператора p̂ 2 сводится к двукратному последовательному действию оператора p̂.

Для эрмитовых операторов Ĝ (см. ниже) другоеопределение функции от оператора (1.26) даёт тот же результат для функций F(g),разложимых в ряд Маклорена, и применимо в случаях, когда такого разложения не2√существует, например для F(g) = A g или F(g) = e −1/ g .♢ В нижеследующих примерах приведены различные операторы в «естественном» для начального употребления координатном представлении (см. подробнее дальше) и найдены собственные значения и собственные функции для некоторых из них.• Оператор координаты x̂ сводится к умножению на x. Оператор Û (x) любойфункции от координат U(x) сводится к умножению на U(x). Собственные значения x0 и собственные функции ψ0 (x) находятся из уравненияx̂ψ0 (x) ≡ xψ0 (x) = x0 ψ0 (x).Отсюда следует, что ψ0 (x) = δ (x − x0), а собственное значение x0 может быть любым действительным числом.• Оператор импульса для движения по прямойp̂x = −i~d/dx .(1.7а)Собственные значения px и собственные функции ψ p (x) находятся из уравненияp̂x ψ p (x) ≡ −i~dψ p (x) /dx = px ψ p (x).

Отсюда следует, что собственные функцииимпульса имеют вид плоских волн ψ p (x) = e ipx/~ , а собственное значение p можетбыть любым действительным числом. Обобщение на трёхмерный случай очевидно:p̂ = −i~∇ :p̂x = −i~∂ /∂x , p̂y = −i~∂ /∂y , p̂z = −i~∂ /∂z .(1.7б)• Оператор энергии (гамильтониан)Ĥ =p̂2+ U(x) .2m(1.8)Как мы увидим в гл. 2, этот оператор определяет эволюцию системы со временемĤ = i~d/dt. При внешнем сходстве с парой (оператор импульса – координата) здесь есть существенное различие. Квантовомеханические средние значенияопределяются усреднением по всем координатам – без усреднения по времени –время в квантовой механике выступает просто как параметр.Глава 1.