1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (Гинзбург 2012 - Основы квантовой механики (нерелятивистская теория)), страница 6

Если | gk ⟩ и |fi ⟩ –ортонормированные базисы, то изучаемые матрицы (и операторы) унитарны, т. е.(Û f →g) † Û f →g = 1̂ ⇒ (Û f →g) † = (Û f →g) −1 ≡ Û g→f .(1.21)Мы не обсуждаем ниже неунитарные преобразования, искажающие нормировку.Примеры.▽ В импульсном представлении матрица оператора импульса имеет вид⟨q|p̂|p⟩ = pδ (q − p); в координатном представлении∫′⟨r |p̂|r⟩ = d 3 pd 3 qψr∗′ (q) p δ (q − p)ψr (p) = i~∂ [δ (r − r′)] /∂r .Действие оператора p̂ на∫ волновую функцию ψ (r) сводится к дифференцированиюd 3 r ′ ⟨r|p̂|r′ ⟩ψ (r′) = −i~∂ψ (r) /∂r.Соответственно, p̂(p) = p, p̂(r) = −i~∂ /∂r.▽ Аналогично, для оператора координаты r̂(r) = r, r̂(p) = i~∂ /∂p, т. е.⟨r′ |r̂|r⟩ = rδ (r′ − r); ⟨p′ |r̂|p⟩ = −i~∂ [δ (p′ − p)] /∂p,∫ 3 ′d p ⟨p|r̂|p′ ⟩ψ (p′) = i~∂ψ (p) /∂p.Эрмитовы операторы.

Оператор ∫B̂ называют эрмитовосопряжённым к опера∫тору Ĝ (B̂ = Ĝ †), если соотношение (B̂ψ1) ∗ ψ2 dx = ψ1∗ Ĝψ2 dx справедливо для1.5. Операторы II . Квантование23любых двух функций ψ1 и ψ2 . (В матричной записи оператор Ĝ † получается из Ĝпосредством транспонирования и комплексного сопряжения). Оператор называется эрмитовым (или самосопряжённым), если Ĝ = Ĝ † , т. е.

если операторсовпадает со своим эрмитово сопряжённым, или в (1.19) G ji = Gi∗j .Среднее∫ значение физической∫ величины A по любому состоянию вещественно,т. е. ⟨A⟩ = ψ ∗ Âψdx = ⟨A⟩∗ = ψ ∗ † ψdx. Поскольку ψ – произвольная функция,это означает, что  = † , т. е.оператор физической величины эрмитов.(1.22)Некоммутативность операторов, коммутаторы.

Результат последовательногодействия операторов на волновую функцию может зависеть от порядка действия;вообще говоря, ÂB̂ψ (x, t) ̸= B̂ Âψ (x, t). В этом случае говорят, что операторы Â и B̂не коммутируют друг с другом. Например,∂ψ∂≡ −i~xψ ′ .p̂ x̂ψ (x, t) = −i~ (xψ (x, t)) ≡ −i~(ψ + xψ ′) ̸= x̂ p̂ψ (x) ≡ −i~x∂x∂xПоэтому (p̂ x̂ − x̂ p̂)ψ (x) = −i~ψ (x) для любой функции ψ (x). Следовательно, можнозаписать операторное равенство[ p̂, x̂] ≡ p̂ x̂ − x̂ p̂ = −i~ .(1.23)Коммутатор iĈ операторов Â и B̂ определяется соотношением (его называютперестановочным)[Â, B̂] ≡ ÂB̂ − B̂ Â = i Ĉ.(1.24)Если коммутатор пары операторов обращается в ноль, говорят, что они перестановочны.Простое использование определения даёт полезные соотношения[Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂] Ĉ + B̂ [Â, Ĉ] ,[[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0 (тождество Якоби).(1.25а)(1.25б)• Квантование.

Для разных физических систем пространства возможных состояний могут различаться. Переход к квантовому описанию этих систем – квантование– отдельная задача. Обычно начинают с выбора обобщенных координат и импульсов Pi и Qi со скобками Пуассона {Qi , P j } = δij . Затем определяют операторыQ̂i , P̂ j с перестановочными соотношениями [Q̂i , P̂ j ] = i~δi j (ср. (1.24)) 1 . В этомвыборе ограничиваются обычно прямоугольными координатами. Часто используютпредставление, в котором Qi – обычные числа.Для остальные физически интересных величин используют те же комбинации координат и импульсов (теперь уже операторов), что и в классической механике.

Этапроцедура не вполне однозначна в силу некоммутативности координат и импульсов.Часто используют правило: если классическая физическая величина известнымобразом определяется через координаты и импульсы, то оператор соответствующей квантовой величины определяется тем же соотношением со1 Вообще, если скобка Пуассона двух физических величин есть {A, B} = D, то для коммутатора соответствующих операторов имеет место соотношение [Â, B̂] = i~D̂.Глава 1. Основные понятия24всеми возможными перестановками между x̂ и p̂.

Так, классической величинеpx сопоставляют обычно оператор (p̂ x̂ + x̂ p̂) /2.• Подробнее о собственных значениях и собственных векторах. Собственные значения λ оператора Â определяются из решения задачи о собственных значениях, т. е. из уравнения (1.5) Â|ψλ ⟩ = λ|ψλ∫⟩. Собственные∫ значения эрмитоваоператора вещественны. Действительно, ψλ∗ Âψλ dx = (Âψλ) ∗ ψλ dx → λ = λ∗ .Собственные функции, отвечающие разным собственным значениям эрмитова оператора, ортогональны. Действительно, домножив Âψλ = λψλ на ψµ∗∗∗слева,∫ ∗ а (Âψµ) ∫ =∗ µψµ на ∫ψλ ∗справа и проинтегрировав, получим в итогеλ ψµ ψλ dx = µ ψµ ψλ dx, т.

е. ψµ ψλ dx = 0 при µ ̸= λ.Если одному собственному значению λ оператора какой-нибудь физической величины λ̂ соответствует несколько независимых собственных функций, то говорят,что это значение λ соответствует вырожденному состоянию по этой величине. Число линейно независимых собственных функций, отвечающих этому значению λ называют кратностью вырождения. В квантовой механике понятие вырождение безуказания оператора λ̂ означает обычно вырождение по энергии.Набор собственных функций ψn (x) эрмитова оператора λ̂ полон1 , т.

е.образует ортонормированный ортонормированный базис гильбертова пространства(в случае вырождения можно выбрать собственные функции ортогональными) 2 :∫∑⟨m|n⟩ = δmn , F(x) = an ψn (x); an = ψn∗ (x ′)F(x ′)dx ′ ;n∫∑∑ψn (x)ψn∗ (x ′) = δ (x − x ′).F(x) = dx ′ F(x ′) n ψn (x)ψn∗ (x ′) →n♢ Пусть система собственных функций эрмитова оператора Ĝ и его собственных значений определяется соотношениями Ĝψn = Gn ψn .

Чтобы определить действие оператора F(Ĝ) на произвольную волновую функцию, запишем ∑разложениеan ψn . Тоэтой волновой функции по собственным функциям оператора Ĝ: ψ =nгда новое определение функции от оператора, эквивалентное (1.6) для функцийF(g), разложимых в ряд Маклорена, и применимое также для функций, не имеющихтакого разложения, имеет видdefF(Ĝ) ψ =∑an F(Gn) ψn .(1.26)n§ 1.6. Одновременная измеримость и полный наборнаблюдаемыхГоворят, что величины A и B одновременно измеримы, если существует полная система векторов состояний |ψn ⟩, таких, что они являются одновременно собственными векторами Â и B̂, т. е. Â|ψn ⟩ = an |ψn ⟩, B̂|ψn ⟩ = bn |ψn ⟩.1 См.для уточнения примечание на стр.

246не выписаны индексы, напоминающие об операторе λ̂.2 Здесь1.7. Оператор конечного сдвига , оператор импульса25В силу полноты системы|ψn ⟩, произвольное состояние |ψ⟩ можно разложить по∑этому базису: |ψ⟩ = cn |ψn ⟩. При этом∑∑ÂB̂|ψ⟩ =cn an bn |ψn ⟩ =cn B̂ Â|ψn ⟩ = B̂ Â|ψ⟩ ⇒ (ÂB̂ − B̂ Â)|ψ⟩ = 0.nnПолучилось, что (ÂB̂ − B̂ Â)|ψ⟩ = 0 для произвольного вектора |ψ⟩, т. е.

[Â, B̂] = 0.Справедливо и обратное утверждение: если [Â, B̂] = 0, то Â и B̂ имеют общую полную систему собственных функций, т. е. одновременно измеримы. Действительно, пусть |ψa ⟩ – собственный вектор оператора Â, т. е. Â|ψa ⟩ = a|ψa ⟩. ТогдаB̂ Â|ψa ⟩ = aB̂|ψa ⟩ = ÂB̂|ψa ⟩, т. е.

B̂|ψa ⟩ есть также собственная функция Â с темже собственным значением a. Если спектр не вырожден, отсюда следует, что B̂|ψa ⟩с точностью до множителя совпадает с |ψa ⟩, и, значит, B̂|ψa ⟩ = b|ψa ⟩, что и требовалосьдоказать. В случае вырождения можно выбрать такие линейные комбинации∑ci |ψia ⟩, которые будут собственными функциями B̂.Итак, две физические величины одновременно измеримы тогда и толькотогда, когда их операторы коммутируют.Полный набор наблюдаемыхГоворя о состоянии системы, далее мы имеем в виду, что оно определено какимнибудь полным набором величин (наблюдаемых), т.

е. таким набором, которыйобладает следующими свойствами:• все эти величины одновременно измеримы;• в состоянии, где все эти величины имеют определённые значения, никакая другая величина (не являющаяся их функцией) не может иметь определённого значения.Иными словами, в квантовой теории задать состояние системы – этозначит сообщить о ней столько, что любые дополнительные сведения могутбыть включены лишь ценой потери некоторых из уже включенных [1,2].§ 1.7.Оператор конечного сдвига, оператор импульсаПокажем теперь на примере, как получаются выражения для операторов некоторых физических величин, помимо обращения к скобкам Пуассона. Для этого мырассмотрим достаточно гладкую функцию f(x) и определим оператор Ûa сдвига координат на величину a соотношением1Ûa f(x) = f(x + a).(1.27)Разложим сдвинутую функцию в ряд Тейлора:( )2( )3()da2 da3 ddf(x + a) = f(x) +af(x) +f(x) +f(x) + ...

≡ exp af(x).dx2! dx3! dxdxТаким образом, можно записать оператор конечного сдвигаÛa = e a(d/dx) .1 Это– один из примеров реализации общего оператора преобразования Û f → g (1.20).(1.28а)Глава 1. Основные понятия26• Если система обладает трансляционной инвариантностью, т. е. её свойства неменяются при сдвиге, импульс системы сохраняется. И наоборот, импульс определяется как величина, которая сохраняется в силу трансляционной инвариантности. Этаинвариантность включает в себя и инвариантность относительно конечного сдвига(см. § 1.7). Поэтому оператор импульса p̂ коммутирует с оператором конечного сдвига, [ p̂, T̂a ] = 0. Значит, естественно определить оператор импульса как A · d/dx,и придумать, как зафиксировать коэффициент A.Оператор наблюдаемой величины – импульса – эрмитов, т.