1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (Гинзбург 2012 - Основы квантовой механики (нерелятивистская теория)), страница 3

В нерелятивистской теории универсальное уравнениеШредингера применимо для описания любой системы, надо лишь найти соответствующий потенциал. В релятивистской теории такого универсального уравнения нет(уравнения для частиц со спином 0 и 1/2 принципиальным образом различаются).Более того, в большинстве содержательных релятивистских задач представлениео задаваемом инструментально потенциале является плохим приближением, взаимопревращения частиц становятся важным предметом изучения; на место квантовоймеханики и электродинамики становится квантовая теория поля и её частные случаи – квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика (теория ядерных сил), электрослабая теория (объединённая теория электромагнитныхи слабых взаимодействий),...

Поэтому построение курса релятивистской квантовоймеханики, безотносительно от рассматриваемых частиц и взаимодействий, представляется мне не очень продуктивным. В то же время без описаний явлений излученияв нерелятивистской области движения частиц введение в атомную физику было бынеполным. Это обусловило выделение соответствующих задач в отдельную главу 16.При наличии прекрасных задачников по квантовой механике [10-12] я счел необходимым включить задачи в состав пособия. Задачи составляют существенную частькурса. Ссылка на задачу имеет вид X.N, где X – номер главы, а N – номер задачив ней, так, задача 1.9 – это задача 9 к гл. 1.

Ссылки на литературу обозначаютсяномером в квадратных скобках, например, [2].В НГУ создан замечательный пакет программ Quant для упражнений по квантовой механике, с чрезвычайно дружественным интерфейсом [13] . Пользователь работает только с задачами квантовой механики. При работе с этим пакетом он знакомится с таким многообразием ситуаций и физических задач, возникающих при варьировании параметров, которое практически невозможно разобрать другими способами из-за недостатка времени. Принципы построения этих программ и примерныйперечень типичных заданий содержатся в основном тексте и в приложении А.Я счел полезным собрать в приложении Б некоторые математические факты,либо не очень хорошо известные студентам, либо часто забываемые – в таких формулировках, которые необходимы физику.Закончу изложением своей точки зрения на причины необходимости изучениясерьезного курса квантовой механики всеми студентами-физиками, и теоретиками,и экспериментаторами, и специалистами по вычислительным методам.• Квантовая механика доставляет новые подходы и идеи, потенциально полезныев новых областях (новая концепция вероятности, новое понимание тождественности).

Принцип дополнительности, разработанный при построении основ квантовойПредисловие11механики, полезен для понимания многих естественнонаучных задач в целом. Напостулатах квантовой механики основаны реализуемые ныне идеи квантового компьютера и квантового кодирования, принципиально недоступного для посторонних.• Наши выпускники в частности должны быть высококультурными потребителями сложного оборудования, им следует чувствовать, когда производители этогооборудования пытаются их обмануть.

В этой связи я обычно привожу такой пример.Некоторое время назад я читал лекции в Новосибирском институте связи (ныне СибГУТИ). Увидев однажды у студентов учебник по электронным приборам, я попросилу них книгу, открыл её на разделе «Туннельный диод» и прочел: туннельный диодработает со скоростью света. Если наш выпускник освоил основные идеи курса,он должен немедленно понять, что подобное утверждение — обман (или следствиемалограмотности автора, или жульничество).Я благодарен многим моим коллегам и студентам за интересные вопросы и обсуждения, повлиявшие на изложение, за замечания и указания неточностей.

Записи В.Г. Сербо и И.Б. Хрипловича, постепенно преобразовавшиеся в [7] , послужили спусковым механизмом для написания этой книги. Мои особые благодарностиА.Г. Грозину, который внимательно прочёл всю книгу, заметил много неточностей инемало ошибок, которые исправлены в предлагаемом тексте.Невзирая на многократное редактирование, как и все известные мне учебникиили научные книги, этот текст вряд ли свободен от опечаток, ненужных повторений,неточностей и неясных мест (надеюсь, что их осталось мало). Я заранее благодарен читателям, которые укажут на эти погрешности, что может быть исправленов возможном втором издании книги.

Я с интересом восприму также предложенияпо добавлению новых тем и (или) исключению некоторых разделов. Предложенияи замечания просьба отправлять по адресу ginzburg@math.nsc.ru.Новосибирск, 2012 г.Глава 1Основные понятия§ 1.1.ВведениеХорошо известно, что переход к существенно новым масштабам рассматриваемых явлений может приводить к необходимости нового их описания (включающего классическое описание как предельный случай на «нормальных» масштабах).В частности, известно, чтосостояние микроскопической частицыописывается волновой функцией ψ (x, t).Поначалу для нас важно только, что ψ есть некоторая, скорее всего, гладкая функция координат и времени.Характерные масштабы квантовых явлений определяются, как и для фотонов,известными соотношениями E = ~ω, p = ~k с постоянной Планка – квантом действия~ = 1, 0546 · 10−27 эрг· с = 1, 0546 · 10−34 Дж· с.Отличие квантового поведения от классического становится существенным, когдавеличины той же размерности, что и величина ~ (например, момент импульса, произведение изменения энергии на время взаимодействия), не слишком велики по сравнению с ~.

Если же такие величины намного превосходят ~, квантовые предсказанияне должны отличаться от классических (принцип соответствия). Мы увидим далее, что |ψ (x, t)|2 имеет смысл плотности вероятности найти частицу в точке x.Справедливость квантовой механики подтверждается уверенным функционированием множества устройств, действие которых основано на еёзаконах (устройства твердотельной электроники, лазеры, детекторы элементарных частиц и т. п.). Поэтому я не нахожу нужным начинать курс (какэто делают многие авторы) с обсуждения первых экспериментов, послуживших аргументом в пользу новой в свое время теории (дифракция электронов, нейтронови других частиц, дискретные спектры энергии и т.

п.).1.1. Введение13Наш курс направлен на решение следующих задач.• Выяснить, что значит описание на основе упомянутых утверждений; понять, чтооно вносит нового в понимание явлений микромира по сравнению с привычнымнам макромиром, каковы здесь новые постановки проблем.• Разобраться в особенностях описания разных физических систем; описать некоторые физически интересные системы.• Овладеть методами приближений, которые позволят отыскивать ответы в большинстве физически интересных проблем.• Демонстрируемые новые подходы к постановке и решению задач квантовой механики должны войти в интеллектуальный багаж слушателей, используемый длярешения возникающих перед ними задач не только в этих сравнительно узкихобластях, но и вне их – вплоть до проблем организации производства и т. п.Простейшие объектыПлоская волнаψ (x, t) = Ae i(kx−ωt) ≡ Ae i(px−Et) /~ .(1.1)Волновой пакет, близкий к монохроматической волне, – суперпозиция плоскихволн с амплитудой A(k), которая представляет собой функцию с максимумом в точкеk0 и быстро убывающую при удалении от максимума («купол»).

Выполнив простыеразложения, получим приближённоψ (r, t) =∫A(k)e i(kr−ω (k)t) d 3 k ≈ A(k0) f(r, t)e i(k0 r−ω0 t) .(1.2)Рассмотрим одномерный «купол» в виде прямоугольника шириной ∆k ≪ |k0 |. Тогда∆k∫ i(qx−ωt)sin[(x − u g t)∆k]f(x, t) =edq ≈ 2∆k.(x − u g t)∆k−∆kЗдесь u g = ∂ω /∂k = ∂E/∂p – групповая скорость пакета.Входящие в пакет разные гармоники имеют разные фазовые скорости ω /k.

Придвижении некоторые компонент из них бегут быстрее центра тяжести, а другие отстают. Поэтому со временем размер пакета увеличивается, пакет расплывается1 .Аналогия с электродинамикойЧтобы уяснить идеи квантовомеханического описания, полезно переписать некоторые факты из теории электромагнитного поля (E(x, t), B(x, t)), немного видоизменив язык описания. Рассмотрим столбец F с шестью компонентамиFα = (E1 , E2 , E3 , B1 , B2 , B3)и строку F † с теми же компонентами, претерпевшими комплексное сопряжение, –аналоги ψ (x, t) и ψ ∗ (x, t). (Если используется действительное представление для полей, то строка получается из столбца простым транспонированием.) Тогда энергиюполя W и его импульс P можно записать в виде (не путайте тензор Леви–Чивитаei jk и тензор диэлектрической проницаемости εi j)1 Если зависимость фазовой скорости от энергии немонотонна, изменение формы пакета при его движении может быть более сложным, чем простое расплывание (разд.

2.8.2).Глава 1. Основные понятия14)1 ∫ 31 ∑∫ 3 (d x(DE + BH) →d x Ei εij E j + Bi (µ−1) ij B j ⇒8π8π i, j)∫∑∫ 3 ( †1d x Fα Ŵαβ Fβ ,⇒d 3 x(Ei∗ εi j E j + Bi∗ (µ−1) ij B j) ≡16πα,β1 ∫ 31 ∫ 3P=d x[E × B] ; Pi =d xE j ei jk Bk ⇒4πc4πc()∑∫ 31 ∫ 3 ∗⇒d xE j eijk Bk ≡d x Fα† P̂iαβ Fβ ,8πcα,β{}{}11εij00ei, j,k−3,P̂=где Ŵ =.iei, j−3,k00 (µ−1) ij16π8πcW =(1.3)(В последних выражениях элементами матриц Ŵ и P̂ являются матрицы 3 × 3ei jk ≡ e ijk , εi j , (µ−1) ij и 0.)Итак, в электродинамике без зарядов и токов наблюдаемые значения физическихвеличин определяются билинейными формами от поля F с помощью некоторых действий – операторов. Каждой физической величине A отвечает своя матрица Â, т.