1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (Гинзбург 2012 - Основы квантовой механики (нерелятивистская теория)), страница 9

гл. 6) она переходит в функцию распределения в фазовом пространстве (x, p).• Использование матрицы плотности оказалось очень продуктивным при решении задач квантовой статистической физики. Здесь стартуют с волновой функции,которая определяется для полной изолированной системы. Например, для системыв термостате она зависит как от координат частиц системы xi , так и от переменныхчастиц термостата X, ψ ≡ ψ ({xi }, X). При этом, например, к среднему (1.32) обычноприписывают значок T , означающий усреднение по состояниям термостата. Интегрирование по переменным термостата X и усреднение по его состояниям одинаковыдля всех операторов, действующих только на переменные нашей системы x. Поэтомустановится естественным описывать систему с помощью матрицы плотности (1.33).Статистический оператор ρ̂ связан с матрицей плотности так же, как матричная форма любого оператора G(x, x ′) связана с его операторной формой Ĝ (1.19).С помощью этого оператора среднее значение физической величины G записываетсяв виде суммы по всем возможным состояниям системы Tr:∫1⟨G⟩ = G(x, x ′)ρ(x ′ , x)dxdx ′ ≡ TrĜ ρ̂,ZZ = Tr{ρ̂} .(1.37)В частности, известное каноническое распределение Гиббса w ∝ e −E/ (kT) , где E –полная энергия нашей системы, переходит в квантовом случае в матрицу плотностиρ̂ = e −Ĥ / (kT) , где Ĥ – оператор полной энергии, а T – температура.§ 1.11.Задачи1.

Найти ψ (x, t) для пакета, который в начальный момент имел форму()1x2√ exp − 2 + ik0 xψ (x, 0) =4a(2π) 1/4 a(1.38)для частиц с законами дисперсии ω = ck и ω = ~k2 /2m. Найти средние значениякоординаты и импульса. Вычислить размеры пакетов при t = 1 с для электрона,первоначально локализованного в области a = 0, 5 · 10−8 см (атом водорода),и для шарика от пинг-понга (a = 2 см). Вычислить плотность тока (2.5).34Глава 1. Основные понятия2. Для частицы в потенциальном ящике U(x) = {0 при |x| < a, ∞ при |x| > a}• найти уровни энергии En и волновые функции ψn ;• найти энергию основного состояния E1 и n, соответствующее энергии En ≈ kT ,где Т=300 К, оценить (En+1 − En) /En для этой энергии для частиц разных массв ящике размера a:а) m=1 г, a ∼ 1 см, б) электрон, a ∼ 10−8 см (атом), в) атом He, a ∼ 1 см.• сравнить классическую плотность вероятности dw/dx = 2/ (v(x)T) с квантовойdw/dx = |ψn (x)|2 при n=1 и n ≫1; сделать то же для dw/dp;• найти вероятность пребывания частицы в области 0 < x < a/3;• найти число энергетических уровней в интервале (E, E + dE) при достаточнобольших E;• найти силу давления частицы на стенку;• найти работу, которую следует совершить для медленного сжатия ямы в ν раз.3.

Для двумерного потенциального ящикаU(x, y) = {0 при |x| < a, |y| < b, ∞ при |x| > a и (или) |y| > b}• найти уровни энергии En и волновые функции ψn ;• отдельно рассмотреть случай квадратного ящика.• Найти плотность числа состояний при E ≫ ~2 / (2ma2) для двумерной и одномерной ям.4. Для частицы в кубическом ящике со стороной a, с непроницаемыми стенками найти уровни энергии, волновые функции, плотность числа состояний приE ≫ ~2 / (2ma2).5.

С какими наименьшими погрешностями можно определить скорости электронаи протона, локализованных в области размером 1 мкм, 10−8 см.6. Оценить с помощью соотношения неопределённостей энергию основного состояния и неопределённость в положении по вертикали нейтрона в гравитационномполе Земли в этом состоянии. (Получить числа.)7. Найти распределение по импульсам в основном состоянии атома водородаψ (r) = (πa3) −1/2 e −r/a .8.

Пусть U(x) – потенциальная энергия системы, а T̂ = p̂ 2 / (2m) – кинетическая.Найти соотношение неопределённостей для ∆x и ∆T , для ∆T и ∆U(x).9. Найти коммутаторы [ px , x] , [ px , z].10. Найти оператор 1/r в импульсном представлении (трёхмерный случай).11. Показать, что [e ikr , p̂] = ke ikr . Найти [e ikr , p̂2 ] .12. Покажите, что коммутатор двух эрмитовых операторов становится эрмитовым после деления на i. (Такой оператор называют антиэрмитовым.)13. Покажите, что для произвольного оператора  среднее по любому состоянию⟨ψ|† |ψ⟩ положительно.14. Покажите, что для коммутаторов между компонентами оператора момента импульса (1.9) и векторов Ai = ri , pi имеют место перестановочные соотношения[Li , A j ] = ieijk Ak (здесь eijk – тензор Леви–Чивита (Б.2)).Глава 2Состояния и их эволюция§ 2.1.Уравнение ШредингераСреди основных положений квантовой механики – утверждение, что волноваяфункция даёт полную информацию о системе.

Но если это так, то и эволюция системы во времени тоже должна определяться этой волновой функцией. Из принципасуперпозиции следует, что уравнение для эволюции волновой функции должно бытьлинейным, т. е. иметь вид dψ /dt = D̂ψ, где D̂ – некоторый оператор.Чтобы догадаться, как выглядит этот оператор D̂, используем принцип соответствия и вспомним выражение для плоской волны (1.1), ψ = Ce i(px−Et) /~ . Длятакой функции дифференцирование по времени даёт собственное значение оператора D̂, равное E/i~. Это – основание для догадки, что и в общем случае D̂ = Ĥ /i~,где Ĥ – оператор Гамильтона (гамильтониан) 1 (1.8).

В сущности, утверждение, чтоD̂ = −i Ĥ /~, представляет ещё один постулат квантовой механики, но постулат «второго сорта», как все получаемые из принципа соответствия определения операторовфизических величин. Итогом этих рассуждений является уравнение для эволюцииволновой функции со временем – уравнение Шредингера:[]∂ψ (r, t)p̂2∂i~= Ĥ ψ ≡+ U(r) ψ (r, t) ⇒ i~ |ψ (t)⟩ = Ĥ |ψ (t)⟩.(2.1)∂t2m∂tВ конце это уравнение записано в виде уравнения на вектор состояния – вне зависимости от используемого представления.

Его основные свойства:1. уравнение Шредингера линейно: если ψ1 (r, t) и ψ2 (r, t) – решения уравненияШредингера, то c1 ψ1 + c2 ψ2 также является решением (принцип суперпозиции);2. уравнение Шредингера – уравнение первого порядка по времени, поэтому волновая функция в любой момент времени полностью определяется, если она известнав некоторый момент t0 .1 В классической механике p = ∂S ∂x, H = −∂S ∂t (S– действие). В квантовой механике//p ⇒ −i~∂ /∂x = p̂.

Следует ожидать по аналогии подобного соответствия и для энергии, E ⇒ i~∂ /∂t → Ĥ .Глава 2. Состояния и их эволюция36Далее всюду вплоть до гл. 15 мы ограничиваемся случаем,когда гамильтониан Ĥ не зависит от времени явно. В этойчасти основным предметом нашего изучения будут стационарные состояния, спектр их энергий и волновые функции.• Особый интерес представляют стационарные решения уравнения Шредингера, т. е.

решения, для которых плотность вероятности |ψn (r, t)|2 не меняется со временем. Вся зависимость такого решения от времени должна сводитьсяк некоторому фазовому множителю ψn (r, t) = ψn (r)e iϕn (t) . Подставим эту функцию в уравнение Шредингера (2.1). Разделение переменных превращает (2.1) в дваEn tуравнения, которые записать в виде ϕn (t) = −, Ĥ ψn (r) = En ψn (r).

Величина~En появилась как параметр разделения переменных, не зависящий от r и t. Принцип соответствия делает естественным отождествление этой величины с энергиейсистемы в состоянии ψn .Второе из этих уравнений есть уравнение на собственные значения En для гамильтониана Ĥ . Это – уравнение Шредингера для стационарных состояний:Ĥψn (r) ≡ −~2∆ψn (r) +U(r)ψn (r) = En ψn (r),2mψn (r, t) = ψn (r)e −iEn t/~.(2.2)Как мы увидим ниже, физически осмысленные решения непрерывны вместе со своейпервой производной.

Они образуют базис энергетического представления.♢ Если одно собственное значение E отвечает нескольким линейно независимымволновым функциям ψα , т. е. Ĥ ψα = Eψα при α = 1, ... k, то говорят, что состояниес энергией E вырождено (k-кратно). Ясно, что любая линейная комбинация функций ψα также описывает стационарное состояние с энергией E. При описании системы с вырождением любой из наборов функций ψα можно рассматривать как базис.Во многих случаях вырождение связано с существованием какой-то симметрии системы, состояния ψα переходят друг в друга при преобразованиях этой симметрии.2.1.1.

Эволюция состояния со временемВ общем случае эволюция волновой функции определяется следующим образом.Разложим волновую функцию начального состоянияψ (r, 0) по собственным функци∑ям ψn (r) гамильтониана системы Ĥ : ψ (r, 0) = cn ψn (r). Тогда со временем каждаяиз этих компонент эволюционирует по своему закону (2.2), и в итоге мы имеем()∫∑(2.3)ψ (r, t) = cn e −iEn t/~ ψn (r),cn = ψn∗ (r)ψ (r, 0)d 3 r .∫ ∗∑En |cn |2 , то cn есть амплитуда(i) Поскольку ⟨E⟩ = ψ (r, t) Ĥ ψ (r, t)d 3 r =nвероятности обнаружить у системы энергию En . Набор величин cn есть волноваяфункция системы в энергетическом представлении.(ii) Иногда закон эволюции (2.3) удобно записывать формально с помощьюоператора эволюции Û (t, 0), обсуждаемого в § 3.1.

Если гамильтониан не зависитот времени явно, можно записать Û = exp(−i Ĥt/~).2.1. Уравнение Шредингера37• Нетрудно убедиться, что эволюцию волновой функции (2.3) можно описатьи с помощью функции Грина G, которая в сущности представляет собой записьоператора эволюции в координатном представлении:∫∑(2.4а)ψ (r, t) = G(r, r′ , t)ψ (r′ , 0)d 3 r′ :G = n ψn (r)ψn∗ (r′)e −iEn t/~ .Функция Грина удовлетворяет уравнению с начальным условиемG(r, r′ , 0) =i~∂G/∂t = ĤG,∑ψn (r)ψn∗ (r′) = δ (r − r′).(2.4б)2.1.2. Плотность тока вероятностиРассмотрим плотность вероятности ρ(r, t) = |ψ (r, t)|2 и её изменение со временем, ∂ρ/∂t = ψ ∗ ∂ψ /∂t + (∂ψ ∗ /∂t)ψ.

Подставим сюда вместо производных от ψи ψ ∗ их выражения, получающиеся из уравнения Шредингера (2.1). В итоге найдем∂ρi~=Z,∂t2mZ = ψ ∗ ∇2 ψ − (∇2 ψ ∗)ψ.Добавляя и вычитая в Z выражение ∇ψ ∗ ∇ψ, запишем эту величину в видеZ = ψ ∗ ∇2 ψ + ∇ψ ∗ ∇ψ − ∇ψ ∗ ∇ψ − (∇2 ψ ∗)ψ = ∇ [ [ψ ∗ (∇ψ) − (∇ψ ∗)ψ]. Итак,правая часть уравнения для dρ/dt оказалась дивергенцией некоторого вектора,и это уравнение можно переписать в виде уравнения непрерывности:∂ρ= −∇j,∂tj=−i~ ∗[ψ (∇ψ) − (∇ψ ∗)ψ] .2m(2.5)Таким образом, наша интерпретация квадрата модуля волновой функции как плотности вероятности является внутренне согласованной и последовательной.