1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (Гинзбург 2012 - Основы квантовой механики (нерелятивистская теория)), страница 5

Основные понятия18• Оператор момента импульсаL̂ = [r̂ × p̂] :L̂x = ŷ p̂z − ẑ p̂y , L̂y = ẑ p̂x − x̂ p̂z , L̂z = x̂ p̂y − ŷ p̂x .(1.9)• Оператор вероятности найти частицу вблизи точки x0 в объёме dVP̂ (x0 , dV) = δ (x − x0)dV.(1.10)Вероятность найти частицу в объёме dV вблизи точки x0 есть∫dw = P(x0)dV = ψ ∗ (x) P̂ (x0 , dV)ψ (x)d 3 x = |ψ (x0)|2 dV,т. е. плотность вероятности найти частицу в точке x0 есть |ψ (x0)|2 .

(Это равенствоиспользуют иногда как объяснение физического смысла ψ-функции.)♢ Условие нормировки∫ψ ∗ (x)ψ (x)d 3 x = 1(1.11)означает просто, что в объёме есть только одна частица. Действительно, в соответствии с (1.4) среднее значение любой функции F(x) есть∫∫⟨F(x)⟩ = ψ ∗ (x)F(x)ψ (x)dx ≡ F(x|ψ (x)|2 dx .§ 1.4.Векторы состояний и волновые функцииРассмотрим Фурье-образ волновой функции ψa (x), т. е.

её разложение по плоским волнам e ipx/~ (1.1), описывающим состояния с определённым импульсом p:ψ̃a (p) = √12π~∫ψa (x)e −ipx/~ dx,ψa (x) = √12π~∫ψ̃a (p)e i px/~ d p.(1.12)∫При условии (1.11) имеем также |ψ̃a (p)|2 d p = 1. Вероятность dw найти частицу с импульсом p пропорциональна∫ |ψ̃a (p)|2 , при этом dw/dp = |ψ̃a (p)|2 , и дляпроизвольной F(p) среднее ⟨F(p)⟩ = ψ̃a∗ (p)F(p) ψ̃a (p)dp.В обеих функциях ψa и ψ̃a содержится одна и та же (полная) информацияо состоянии a, необходимо только сообщить, в каком базисе записана эта функция (в координатном или в фурье-импульсном).Как и в нашем трёхмерном мире, в мире волновых функций надо различать вектори его запись в различных базисах. Вектор можно задавать, не прибегая к конкретному базису; например, вектор a длиной в один метр, направленный от заданной точкина Полярную звезду.

В каком-нибудь избранном базисе X такой вектор записывается как тройка чисел – его проекций на оси, a = (a1 , a2 , a3) X , в другом базисе Yтот же вектор определяется другой тройкой чисел a = (a′1 , a′2 , a′3) Y (и второй наборможно получить из первого с помощью универсального правила – линейного преобразования, коэффициенты которого не зависят от вектора a). Подобным образомсостояние квантовой системы определяется вектором состояния |a⟩, где значок1.4. Векторы состояний и волновые функции19a – метка состояния, а, например, ψa (x) – запись этого вектора в координатномбазисе. Нередко состояния «нумеруют» значениями классических и квантовых параметров в этом состоянии, a = (a1 , a2 , .

. .). По традиции этот вектор называюткет-вектором. Сопряжённый с ним вектор называют вектором бра (вместе они образуют слово bracket). (Это – аналоги 6-компонентной строки F и 6-компонентногостолбца F † в электродинамике.) Набор чисел, описывающих вектор состоянияв избранном базисе, называют волновой функцией состояния. Сопряжённыйвектор описывается набором чисел, которые получаются из указанного набора посредством комплексного сопряжения. В частности, в предыдущем примереψa (x) и ψ̃a (p) – волновые функции состояния |ψ⟩ в координатном и импульсномбазисах соответственно.Векторы состояний |A⟩ и α|A⟩, где α ̸= 0 – некоторое число, определяют однои то же состояние. Ниже мы всегда имеем в виду нормированные векторы состояний|A⟩ и |B⟩, в этом случае коэффициент α исчезает при нормировке. В суперпозициивекторов состояний α|A⟩+β|B⟩ смысл имеет только отношение коэффициентов β /α.Примеры:|p⟩ ≡ |ψp ⟩ – вектор состояния частицы с импульсом p;|r⟩ ≡ |ψr ⟩ – вектор состояния частицы, локализованной в точке r.Нередко состояния дискретного спектра системы нумеруют в порядке возрастания их энергии, начиная с нуля.

Вектор n-го состояния часто обозначают |n⟩.• Все возможные векторы состояний кет образуют линейное гильбертово пространство состояний рассматриваемой системы (оно же – пространство состояний), а сопряжённые векторы бра – сопряжённое гильбертово пространство. Скалярное произведение векторов состояний |ψ⟩ и |φ⟩ обозначают как ⟨ψ|φ⟩ = ⟨φ|ψ⟩∗ .Если вектор состояния задан в координатном базисе, то∫⟨ψ|φ⟩ = ψ ∗ (x)φ(x)dx .(1.13)♢ В пространстве векторов состояний можно выбрать полный набор ортонормированных векторов состояний | fi ⟩, таких что ⟨fi |f j ⟩ = δi j . Набор |fi ⟩ образуетбазис векторного пространства. Далее буква f будет «значком» выбранного базиса,индекс i перечисляет векторы из этого базиса, фигурные скобки обозначают словосовокупность.

Так, {|fi ⟩} – совокупность всех векторов |fi ⟩, т. е. базис f .В квантовой механике выбор базиса называют выбором представления, и надонаучиться переходить от одного представления (базиса) к другому. Ранее обсуждались координатное и импульсное представления.Бо́льшая часть нашего изложения относится к случаю, когда набор собственныхсостояний дискретен, движение частицы сосредоточено в конечной области пространства, и нормировка означает попросту условие, что частица находится где-тов этой области. В частности, это оправдано, если система помещена в конечныйобъём (например, внутрь куба со стороной L). Для состояний частицы в этом объёме полный набор составляет совокупность плоских волн с волновыми числамиk = πn/L, где n – целое число, возможные значения k образуют счётное множество.Предельный переход L → ∞ превращает набор состояний в непрерывный.

При этомГлава 1. Основные понятия20полный набор состояний можно задать с помощь плоских волн, волновое число которых k пробегает уже непрерывный ряд значений. В этом случае мощность множествазначений k – континуум. Более того, если движение частицы инфинитно (например,описывается волновой функцией в виде плоской волны), состояние не нормируемо в обычном смысле, концепция обычного гильбертова пространства прямо неработает. Для этого случая И.М. Гельфанд разработал концепцию оснащённогогильбертова пространства, состояния которого сворачиваются с гладкими носителями, реализующими различные волновые пакеты.

С практической точки зренияэто сводится к тому, что физические состояния реализуются не плоскими волнами, аих более или менее локализованными суперпозициями – волновыми пакетами. Еслииметь это в виду, всё излагаемое о гильбертовом пространстве годится и для пространства состояний оснащённого гильбертова пространства с естественной заменойδij на δ (i − j), а сумм – на интегралы.♢ Оператор, осуществляющий проектирование произвольного вектора состояния|a⟩ на состояние |fi ⟩, (проекционный оператор P̂i для состояния |fi ⟩) выделяетиз |a⟩ составляющую, направленную вдоль |fi ⟩:de fP̂i = |fi ⟩⟨fi |(без суммирования по значениям i).(1.14)Пример. В двумерном мире a = a1 e1 + a2 e2 .

Пусть |f1 ⟩ = |e1 ⟩ и | f2 ⟩ = |e2 ⟩.Тогда P̂1 |a⟩ = |e1 ⟩⟨e1 |a⟩ = e1 (e1 a) ≡ a1 |e1 ⟩, т. е. P̂1 действует как операторпроектирования на ось 1.Отметим, что по определению( )2P̂i = P̂i ,(1 − P̂i)2= 1 − P̂i .(1.15)При суммировании проекционных операторов на все состояния i любого базисаf в пространстве векторов состояния получается единичный оператор:∑P̂i =∑|fi ⟩⟨fi | = 1̂.(1.16)iiВолновые функцииМы уже говорили о волновых функциях в координатном и импульсном представлениях. Вообще, вектор состояния |ψ⟩ можно описать его проекциями ⟨ fi |ψ⟩ набазис | fi ⟩ (как трёхмерный вектор – его проекциями на координатные оси):|ψ⟩ =∑|fi ⟩⟨ fi |ψ⟩.(1.17)iНабор проекций ⟨fi |ψ⟩ ≡ ψ (fi) для всех векторов |fi ⟩ из базиса |f⟩ называетсяволновой функцией состояния |ψ⟩ в f-представлении.

Если базис составляютсобственные функции оператора какой-нибудь физической величины F , то говорято F -представлении и о волновых функциях в этом представлении.1.5. Операторы II . Квантование21В частности, «наивная» запись ψ (x) или ψ̃ (p) описывает волновую функцию соответственно в координатном или импульсном представлении, значки x и p обозначают здесь как вид используемого представления, так и набор чисел – значений xи p. Подобные обозначения нередко используют и для других представлений.♢ Преобразование волновой функции к другому представлению описывается цепочкой равенств:{} {}∑ f →g∑f →g⟨gi |f j ⟩⟨ f j |ψ⟩ = {⟨gi |ψ⟩} , Û ji ≡ ⟨ gi | f j ⟩. (1.18)ψ (g) =Û ji ψ (f j) ≡jjf →gНабор чисел U jlопределяет связь двух базисов (подобно матрицам преобразования систем координат в трёхмерном мире, строящимся из косинусов и синусовуглов поворота осей).

Эти числа образуют матрицу преобразования U f →g (матричное представление оператора преобразования Û f →g).♢ При измерении величины F в состоянии |ψ⟩ получается одно из собственных значений f оператора F̂ с вероятностью |ψ (f)|2 . Именно поэтому волновуюфункцию ψ (f) называют ещё и амплитудой вероятности. В частности, пусть существует полная ортонормированная система собственных векторов |fnm ⟩ оператора какой-нибудь физической величины M c собственными значениями mn так, чтоM̂| fnm ⟩ = mn |fnm ⟩. Разложим произвольныйволновой вектор системы |ψ⟩ по этим∑собственным функциям: |ψ⟩ =cn | fnm ⟩ (при этом cn = ⟨fn∗m |ψ⟩).

Тогда величинаn|cn |2 есть вероятность найти систему в состоянии |fnm ⟩, т. е. наблюдать собственноезначение mn величины M.Пример. Волновая функция частицы с определённым импульсом в координатномпредставлении ⟨r|p⟩ = ψp (r) = e ipr/~ (2π~) −3/2 .Для любой волновой функции с учётом ⟨r|p⟩ = ⟨p|r⟩∗ имеем∫∫e −ipr/~ψ (r) ,(2π~) 3/2∫∫e ipr/~ψ (r) = ⟨r|ψ⟩ = d 3 p⟨r|p⟩⟨p|ψ⟩ = d 3 pψ (p) .(2π~) 3/2ψ (p) = ⟨p|ψ⟩ =§ 1.5.d 3 r⟨p|r⟩⟨r|ψ⟩ =d 3rОператоры II. КвантованиеЕсли задан способ, которым любой из векторов состояния преобразуется в другой вектор состояния |ϕ⟩ = Ĝ|ψ⟩, то говорят, что задан оператор Ĝ.

В квантовоймеханике рассматривают обычно линейные операторы:Ĝ (a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x)) = a1 Ĝψ1 (x) + a2 Ĝψ2 (x) .Рассмотрим какой-нибудь базис |fi ⟩ в пространстве состояний. Действие оператора Ĝ на функцию из этого базиса даёт новую функцию, которую мы опять∑ fразложим по тому же базису, Ĝ| fi ⟩ = j Gij |f j ⟩. Чтобы найти коэффициенты этоfго разложения Gij , образуем, как обычно, скалярное произведение получившегосяГлава 1. Основные понятия22вектора на какой-нибудь вектор из этого же базиса |fk ⟩. Считая наш базис ортонормированным, получим (после переобозначений) выражения для этих коэффициентов.Кроме того, запишем и специфическое представление оператора в нашем базисе:f de fGij = ⟨fi |Ĝ| f j ⟩;Ĝ|fi ⟩ =∑jfGij | f j ⟩;Ĝ =∑i,jf| fi ⟩G ji ⟨f j |.(1.19)fЧисла Gij образуют матричное представление оператора Ĝ в базисе | fi ⟩.

Можfно сказать, что матрица Gi j – это оператор Ĝ в f -представлении.В этом базисе волновой вектор некоторого состояния |ψ⟩ задаётся своей волновой функцией, которую можно понимать как столбец ψi ≡ ψ (fi) (а сопряжённуюфункцию – как строку ψ ∗j ≡ ψ ∗ (f j)). Действие оператора на волновую функцию∑ fв этом представлении описывается как равенство Ĝ f [ψ (f)] ≡ ⟨fi |Ĝ|ψ⟩ =Gij ψ (f j) .j♢ Чтобы найти матричное представление нашего оператора в другом базисе |g >,повторим предыдущую процедуру, и с учётом (1.18) получим∑∑∑ ∗ f →g f f →gggfĜ = | gℓ ⟩Gkℓ ⟨gk | ⇒ Gkℓ = ⟨gℓ |fi ⟩Gij ⟨f j |gk ⟩ ≡ UℓiGi j U jk .(1.20)k,li, ji, jЭто соотношение можно трактовать также как закон преобразования формы оператора при преобразовании базиса (вращение, сдвиг, отражение).∗ f →gПоявившиеся в (1.20) числа Ukiобразуют матричное представление операf →g †тора преобразования (Û) . Оно получается из матрицы Û f →g эрмитовым сопряжением (транспонированием и комплексным сопряжением).