1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (Гинзбург 2012 - Основы квантовой механики (нерелятивистская теория)), страница 10

Вектор jназывают вектором плотности тока вероятности.Выделяя амплитуду и фазу волновой функции, имеемψ=√ρe iφ ⇒ j = ~ρ∇φ/m.(2.6)Итак, вектор j направлен вдоль градиента фазы волновой функции. Именно в этомнаходят физический смысл фазы.♢ В частности, для плоской волны (1.1)ψ (x) = Ae i(px−Et) /~ ⇒ j = |A|2p≡ |A|2 vm(2.7а)(v – скорость частицы).

Поэтому далее мы (если это не оговорено специально) будемсчитать стандартным выражение для плоской волны, нормированной на поток (одначастица в секунду через площадку единичной площади, перпендикулярнуювектору p):√m i(px−Et) /~ψ (x) =e.(2.7б)pГлава 2. Состояния и их эволюция382.1.3. Теорема о вириалеПусть |n⟩ – стационарное состояние дискретного спектра, удовлетворяющее уравнению Ĥ |n⟩ = En |n⟩. Тогда для любого оператора Â имеем⟨n|[Ĥ , Â] |n⟩ = ⟨n|Ĥ Â − ÂĤ |n⟩ ≡ (En − En)⟨n|Â|n⟩ = 0.В частности, для Â = p̂ r̂ c учётом (1.25а) и соотношений Ĥ = T + U(r), T = p̂2 /2mp̂2получаем ⟨n|[Ĥ , p̂ r̂]|n⟩ ≡ ⟨n| [T̂ , p̂ r̂] |n⟩ + ⟨n|[Û , p̂ r̂] |n⟩ = −i~⟨n|− r ∇U |n⟩ = 0.mПоследнее из этих соотношений составляет теорему о вириале:2⟨n|T |n⟩ = ⟨n|r ∇U |n⟩ .(2.8)♢ В частности, если потенциал – однородная функция координат степени k,т.

е. U = A|r|k , то 2⟨n|T |n⟩ = k⟨n|U |n⟩. В важном случае гармонического осциллятора это означает, что ⟨T ⟩ = ⟨U ⟩ = En /2. Точно так же для атома водорода⟨U ⟩e2p̂ 2⟨n| |n⟩ = 2⟨n||n⟩, ⟨T ⟩ = −= −En .r2m2§ 2.2. Сохраняющиеся величины. Симметрия и вырождениестационарных состоянийПусть A – оператор какой-нибудь физической величины. Вычислим производнуюпо времени от её среднего значения по некоторому состоянию |ψ⟩ : ∂  ∂ψdd⟨A⟩∂ψ ≡⟨ψ  ψ⟩ = ⟨⟩. ψ⟩ + ⟨ψ ψ⟩ + ⟨ψ  ∂t dtdt∂t∂tИспользуя для dψ /dt уравнение Шредингера (2.1), получим() ∂ Âd⟨A⟩Ĥ  − ÂĤ = ⟨ψ − ψ⟩.

∂tdti~Отсюда следует, что если оператор Â а) коммутирует с гамильтонианом и б) независит от времени явно, т. е. ∂ Â/∂t = 0, то среднее значение ⟨A⟩ не меняется современем, физическая величина A сохраняется.∂ Â/∂t = 0,[Â, Ĥ] = 0|{z}⇓Â – оператор сохраняющейся величины.(2.9)В этом случае величина A и энергия одновременно измеримы, т. е. в частности стационарные состояния можно выбрать так, чтобы они одновременно былисобственными состояниями и оператора Â и гамильтониана. (Разумеется, интересентолько случай, когда Â не сводится к какой-нибудь функции гамильтониана.)В частности, для свободного движения Ĥ = p̂ 2 / (2m), поэтому [Ĥ , p̂] = 0,и состояния с определённым импульсом стационарны.2.2.

Сохраняющиеся величины . Симметрия и вырождение39Симметрия и законы сохранения. Пусть имеется некоторая группа преобразований S. Преобразования этой группы описываются набором унитарных операторов Ŝi , преобразующих вектор состояния |ψ⟩ в вектор состояния Ŝi |ψ⟩. Мырассмотрим сначала для определённости конечные группы, в которых весь набороператоров Ŝi может быть построен из конечного набора унитарных операторов Û– генераторов группы.

В частности, под действием оператора Û вектор состояния|ψ⟩ преобразуется в вектор состояния Û |ψ⟩. Применение того же преобразованиясимметрии к бра-вектору ⟨ψ| описывается оператором Û −1 . Утверждение, что система обладает симметрией S означает, что преобразование симметрии для векторовсостояния Û не меняет её гамильтониан, т. е. и энергию системы (среднее значениегамильтониана), ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩ = ⟨ψ|Û −1 Ĥ Û |ψ⟩. Поскольку это соотношение имеет местодля любого вектора состояния, из него следует, что существование нашей симметриивлечёт за собой равенствоÛ −1 Ĥ Û = Ĥ ⇒ [Ĥ, Û ] = 0 .(2.10)Таким образом, если в системе существует некоторая симметрия, то операторпреобразований этой симметрии коммутирует с гамильтонианом, т.

е. в силу (2.9)определяет некоторую сохраняющуюся величину. Это утверждение составляет содержание теоремы Нетер:Если система обладает некоторой симметрией, то существуютсохраняющиеся операторы, отвечающие этой симметрии.(2.11а)Справедливо и обратное утверждение:Если в рассматриваемой системе сохраняется какая-то величина помимо функций от энергии, то система обладает некоторойсимметрией (быть может, скрытой).(2.11б)Принято различать Таблица 2.1. Соотношение: инвариантность свойств системы по отнепрерывные и дис- ношению к некоторым преобразованиям – законы сохранения отдельных физических величинкретные симметрии.ИнвариантностьСохраняющаясяПримером дискретнойпоотношениюквеличинасимметрии является инсдвигукоординат⇒импульсpвариантность по относдвигу по времени⇒энергия Eшению к отражениюкоординат.

При этомвращениям⇒момент импульса Lсохраняющейся велиотражению координат⇒чётность Pчиной является чистоквантовая величина, чёт- частица ↔ античастица ⇒ зарядовая чётность C(зарядовое сопряжение)ность, § 2.3. Примерами непрерывныхсимметрий являются хорошо известные вам инвариантности по отношению к сдвигу(трансляционная инвариантность) и к поворотам (инвариантность по отношению к вращениям).

В этих случаях существуют семейства преобразованийГлава 2. Состояния и их эволюция40Û , чьи операторы коммутируют с гамильтонианом (например, операторы сдвигов наразные расстояния), и все эти операторы можно получить многократным повторением «элементарного», инфинитезимального (бесконечно малого) преобразования.При этом, например, импульс определяется как аддитивная величина, сохраняющаяся в силу трансляционной инвариантности, именно такой способ использовалсяв § 1.7.

В табл. 2.2 перечислены многие такие соответствия, включая и дискретные законы сохранения (в нижней части таблицы), из них мы обсуждаем толькосохранение чётности.• Пусть операторы Â и B̂ коммутируют с гамильтонианом, но не коммутируютдруг с другом. Подействовав операторами [Â, Ĥ ] = 0 и [B̂, Ĥ ] = 0 на собственноесостояние гамильтониана |E⟩, мы видим, что векторы Â|E⟩ и B̂|E⟩ также являютсясобственными векторами гамильтониана. Эти векторы, вообще говоря, не совпадают в силу некоммутативности операторов Â и B̂ (один из них может совпадатьс |E⟩).

Таким образом, одному и тому же значению энергии отвечают по крайнеймере два разных собственных вектора, т. е. в этом случае стационарные состоянияобязательно вырождены.Если[Â, Ĥ] = 0 ,[B̂, Ĥ] = 0 ,[Â, B̂] ̸= 0стационарные ⇒ состояниявырождены.(2.12а)Почти всегда справедливо и обратное утверждение:Если состояния системы вырождены, то существуетне менее двух разных операторов, коммутирующих сгамильтонианом и не коммутирующих друг с другом.(2.12б)Сохранение какой-нибудь величины A связано обычно с существованием некоторой симметрии. Из (2.12) следует, что наличие нескольких одновременных симметрийв системе приводит к вырождению стационарных состояний.Система тождественных квантовых частиц обладает симметрией по отношениюк перестановке этих частиц.

Эта симметрия приводит к выводам о возможных состояниях такой системы, § 13.1.§ 2.3.Симметрия по отношению к отражениям. ЧётностьДействие оператора отражения координат P̂ на любую функцию координат состоит в изменении знаков этих координат в аргументе:P̂ψ (x) = ψ (−x).(2.13)Найдём возможные собственные значения оператора P, т. е. решения уравненияP̂ψ (x) = Pψ (x). Так как P̂ψ (x) = ψ (−x), то повторное действие этого операторадаёт P̂ 2 ψ (x) = ψ (x). В то же время P̂ 2 ψ (x) = P 2 ψ (x), т. е. P 2 = 1.

Про состоянияс определённым значением P говорят, что они обладают определённой чётностью.2.4. Основные типы задач для движения одной частицы41Чётность квантовомеханической системы может принимать значенияP = +1 (чётное состояние) или P = −1 (нечётное состояние).Если при отражении вид гамильтониана не меняется, т. е. [P̂, Ĥ ] = 0, то чётностьсохраняется, величины энергии и чётности одновременно измеримы. При этом можнотак определить стационарные состояния, чтобы они имели определённую чётность.В частности, волновые функции фотона и π-мезона при отражении меняют знак, ихчётности равны −1.Чётность – специфически квантовое понятие. Она не имеет классического аналога, поскольку определяется для ненаблюдаемой волновой функции, а для классической величины – вероятности – чётные и нечётные состояния неразличимы.

Явноевыражение оператора отражения координат через операторы координаты и импульсавыписано в (4.19).♢ Для частиц со спином 1/2 (гл. 10) понятие чётности определить нельзя. Однако, для них определяется понятие внутренней чётности, значение которой постулируется.

Если несколько таких частиц получаются во взаимодействиях, сохраняющих чётность (электромагнитных или ядерных), то знание внутренней чётностиодной из этих частиц фиксирует внутренние чётности остальных с помощью законасохранения чётности. Для протона, нейтрона и электрона принимают, что внутренняячётность есть +1, тогда для античастиц – антипротона, антинейтрона и позитронавнутренние чётности равны по −1.§ 2.4.Основные типы задач для движения одной частицыНачало отсчёта потенциальной энергии обычно выбирают так, чтобы подчеркнуть исчезновение взаимодействия на больших расстояниях1 : U(r) → 0 при r → ∞.Постановки соответствующих краевых задач и нормировки волновой функции существенно различаются для случаев E < 0 и E > 0. Это различие соответствуетдвум разным типам классического движения.2.4.1.

Стационарные состоянияПри E < 0 классическое движение частицы финитно – она остается в конечнойобласти пространства. В соответствующей квантовой задаче можно рассчитывать,что в ограниченной области пространства есть одна частица, т. е. потребовать выполнения условия нормировки в форме (1.11). Этот интеграл сходится, только есливолновая функция достаточно быстро убывает на бесконечности. Такое граничноеусловие приводит к тому, что уравнение Шредингера (2.2) имеет решения – собственные функции – только при некоторых фиксированных значениях энергии –собственных значениях гамильтониана.

Это и есть стационарные состояния дискретного спектра. Энергия системы есть сумма кинетической (положительной)1 Используядля описания реальной системы приближения гармонического осциллятора и бесконечноглубокой прямоугольной ямы, мы отказываемся от этого выбора. Надо не забывать, что получающиесяв таких задачах результаты применимы для описания реальных систем лишь в ограниченной областиэнергий и расстояний, где можно пренебречь эффектами «остановки» роста потенциала.Глава 2.

Состояния и их эволюция42и потенциальной энергий. Для любого физически осмысленного потенциала существует состояние с наименьшей энергией E0 , параметры которого можно оценитьс помощью соотношения неопределённостей, см. примеры на стр. 28. Это состояние называют основным. Здесь естественная основная задача состоит в поискеэтих энергий и волновых функций.