8 ¦СTо¦ВтАв¦- (Ответы на теория к экзамену)

Билет 8

1Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности: М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п . (7.1) Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно. Сойства математического ожидания. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М(С) = С. (7.2) Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М(С) = С·1 = С. Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания: М(СХ) = С М(Х). (7.3) Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

то ряд распределения для СХ имеет вид:

Тогда М(СХ) = Сх₁р₁ + Сх₂р₂ + … + Сх_пр_п = С( х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п) = СМ(Х). Определение 7.2. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы. Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY) = M(X)M(Y). Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

Тогда ряд распределения для XY выглядит так:

Следовательно, M(XY) = x₁y₁·p₁g₁ + x₂y₁·p₂g₁ + x₁y₂·p₁g₂ + x₂y₂·p₂g₂ = y₁g₁(x₁p₁ + x₂p₂) + + y₂g₂(x₁p₁ + x₂p₂) = (y₁g₁ + y₂g₂) (x₁p₁ + x₂p₂) = M(X)·M(Y). Определение 7.4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго). 4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или незави-симых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых: M (X + Y) = M (X) + M (Y). Доказательство. Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведен-ными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х₁ + у₁, х₁ + у₂, х₂ + у₁, х₂ + у₂. Обозначим их вероятности соответственно как р₁₁, р₁₂, р₂₁ и р₂₂. Найдем М( Х +Y ) = (x₁ + y₁)p₁₁ + (x₁ + y₂)p₁₂ + (x₂ + y₁)p₂₁ + (x₂ + y₂)p₂₂ = x₁(p₁₁ + +p₁₂) + x₂(p₂₁ + p₂₂) + y₁(p₁₁ + p₂₁) + y₂(p₁₂ + p₂₂). Докажем, что р₁₁ + р₂₂ = р₁. Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х₁ + у₁ или х₁ + у₂ и вероятность которого равна р₁₁ + р₂₂, совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х₁ (его вероятность – р₁). Аналогично дока-зывается, что p₂₁ + p₂₂ = р₂, p₁₁ + p₂₁ = g₁, p₁₂ + p₂₂ = g₂. Значит, M(X + Y) = x₁p₁ + x₂p₂ + y₁g₁ + y₂g₂ = M (X) + M (Y). Дисперсия.Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида

Найдем М(Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М(Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М(Х) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математи-ческое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания: D(X) = M (X – M(X))². Теорема 7.1. D(X) = M(X ²) – M ²(X). Доказательство. Используя то, что М(Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду: D(X) = M(X – M(X))² = M(X² - 2X·M(X) + M²(X)) = M(X²) – 2M(X)·M(X) + M²(X) = M(X²) – 2M²(X) + M²(X) = M(X²) – M²(X), что и требовалось доказать. Пример. Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y, рассмотренных в начале этого раздела. М(Х) = (49²·0,1 + 50²·0,8 + 51²·0,1) – 50² = 2500,2 – 2500 = 0,2. М(Y) = (0²·0,5 + 100²·0,5) – 50² = 5000 – 2500 = 2500. Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для Y это отклонение весьма существенно. Свойства дисперсии. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (C) = 0. Доказательство. D(C) = M((C – M(C))²) = M((C – C)²) = M(0) = 0. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX) = C²D(X). Доказательство. D(CX) = M((CX – M(CX))²) = M((CX – CM(X))²) = M(C²(X – M(X))²) = C²D(X). Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X + Y) = D(X) + D(Y). Доказательство. D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) – (M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2M(X)M(Y) + M(Y²) – M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y) = (M(X²) – M²(X)) + (M(Y²) – M²(Y)) = D(X) + D(Y). Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7.11) Доказательство. D(X – Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)²D(Y) = D(X) + D(X). Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Распространим определения числовых характеристик случайных величин на непре-рывные случайные величины, для которых плотность распределения служит в некото-ром роде аналогом понятия вероятности. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется Замечание 1. Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайной величины таким же, как и для дискретной (опр. 7.5), а формула для ее вычисления имеет вид: 2 Определение 19.1. Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений.

Определение 19.2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀. Конкурирую-щей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой. Пример. Пусть Н₀ заключается в том, что математическое ожидание генеральной совокупности а = 3. Тогда возможные варианты Н₁: а) а ≠ 3; б) а > 3; в) а < 3. Определение 19.3. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, сложной – гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. В результате проверки правильности выдвинутой нулевой гипотезы ( такая проверка называется статистической, так как производится с применением методов математичес-кой статистики) возможны ошибки двух видов: ошибка первого рода, состоящая в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, заключаю-щаяся в том, что будет принята неверная гипотеза. Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной задачи. Например, если проверяется правильность выбора метода лечения больного, то ошибка первого рода означает отказ от правильной методики, что может замедлить лече-ние, а ошибка второго рода (применение неправильной методики) чревата ухудшением состояния больного и является более опасной. Определение 19.4. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α. Основной прием проверки статистических гипотез заключается в том, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайной величины, имеющей известный закон распределения. Определение 19.5. Статистическим критерием называется случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы. Определение 19.6. Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу принимают. Итак, процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов: выбирается статистический критерий К; вычисляется его наблюдаемое значение К_набл по имеющейся выборке; поскольку закон распределения К известен, определяется (по известному уровню значимости α) критическое значение k_кр, разделяющее критическую область и область принятия гипотезы (например, если р(К > k_кр) = α, то справа от k_кр распо-лагается критическая область, а слева – область принятия гипотезы); если вычисленное значение К_набл попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, если в критическую область – нулевая гипотеза отвергается. Различают разные виды критических областей: 1)правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K > k_кр ( k_кр > 0); 2)левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K < k_кр ( k_кр < 0); 3) двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами K < k₁, K > k₂ (k₂ > k₁). Определение 19.7. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза. Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) β, то мощность критерия равна 1 – β. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной.