10 ¦СTо¦ВтАв¦- (Ответы на теория к экзамену)

Билет 10

Приближение Пуассона для схемы Бернулли.

Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний. Можно получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большом числе испытаний вероятность появления А в одном опыте мала, а произведение пр = λ сохраняет постоянное значение для разных серий опытов ( то есть среднее число появле-ний события А в разных сериях испытаний остается неизменным). Применим формулу Бернулли: Найдем предел полученного выражения при

Таким образом, формула Пуассона - позволяет найти вероятность к появлений события А для массовых (п велико) и редких (р мало) событий.  Случайная  величина  ξ имеет пуассоновское  распределение, если  P(ξ = k) = e^{− λ}λ^k / k!. Математическое  ожидание  такой случайной  величины  равно λ, и  дисперсия  тоже λ. Задачи математической статистики.Первая задача математической статистики - указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов. Вторая задача математической статистики - разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся: 1) ценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения, вид которой известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др. 2) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или величине параметров распределения, вид которого известен. Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности. Таким образом, математическая статистика состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов. Математическая статистика опирается на теорию вероятностей. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. вариационный ряд - это расположенные в порядке возрастания их величин элементы выборки. Поскольку неизвестное распределение можно описать, например, его функцией распределения , построим по выборке «оценку» для этой функции. Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке объема , называется случайная функция , при каждом равная Случайная функция называется индикатором события . При каждом это — случайная величина, имеющая распределение Бернулли с параметром Иначе говоря, при любом значение , равное истинной вероятности случайной величине быть меньше , оценивается долей элементов выборки, меньших . Если элементы выборки , , упорядочить по возрастанию (на каждом элементарном исходе), получится новый набор случайных величин, называемый вариационным рядом: Здесь Элемент , , называется -м членом вариационного ряда или -й порядковой статистикой. Теорема В.И.Гливенко (Предельная теорема для эмпирической функции распределения). Пусть - эмпирическая функция распределения и F(x) - соответствующая теоретическая функция распределения, тогда: Другими словами, это соотношение означает, что отклонение эмпирической функции распределения от теоретической на всей оси с вероятностью 1 будет сколь угодно мало при достаточно большом объеме выборки. Одна из задач математической статистики: по имеющейся выборке оценить значения числовых характеристик исследуемой случайной величины. Определение 16.1. Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке: , (16.1) где x_i – варианты, n_i - частоты. Замечание. Выборочное среднее служит для оценки математического ожидания исследуемой случайной величины. В дальнейшем будет рассмотрен вопрос, насколько точной является такая оценка. Определение 16.2. Выборочной дисперсией называется , (16.2) а выборочным средним квадратическим отклонением – (16.3) Так же, как в теории случайных величин, можно доказать, что справедлива следующая формула для вычисления выборочной дисперсии: . Оценки начальных и центральных моментов (так называемые эмпирические моменты) определяются аналогично соответствующим теоретическим моментам: - начальным эмпирическим моментом порядка k называется . (16.5) В частности, , то есть начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочному среднему. - центральным эмпирическим моментом порядка k называется . (16.6) В частности, , то есть центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.