1 T-Tо¦ВтАв¦- (Ответы на теория к экзамену)

1 билет 1.Случайное испытание – эксперимент, исход которого нельзя определить однозначно условиями проведения опыта.

Элементарное событие (элементарный исход) – любой простейший (т. е. неделимый в условиях данного опыта) исход опыта. Элементарные события являются взаимоисключающими. Пространство элементарных событий (исходов) – множество всех элементарных исходов. Событием называют любой набор элементарных исходов, т. е. произвольное подмножество пространства элементарных исходов. Вероятностью события A называют отношение числа N_A благоприятствующих событию A элементарных исходов к общему числу N равновозможных элементарных исходов, т. е. . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности. Свойства: 1) ; 2) для достоверного события ; 3) если события A и B несовместны (AB = ), то .Вероятностью события A называют число P(A), равное отношению меры множества A к мере множества : . Геометрическая вероятность сохраняет свойства вероятности P(A) в условиях классической схемы. Обобщает классическое на случай бесконечного множества элементарных исходов  тогда, когда представляет собой подмножество пространства R, R²,Rⁿ. Пусть каждому событию A (т. е. подмножеству A пространства элементарных исходов ) поставлено в соответствие число P(A). Числовую функцию P называют вероятностью ( или вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам: 1)аксиома неотрицательности: ₂₎аксиома нормированности: расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A₁,…,A_n,… справедливо равенство: P(A₁+…+A_n+…) = P(A₁)+…+P(A_n)+… Значение P(A) называют вероятностью события A. Вероятность удовлетворяет следующим свойствам: 1)Вероятность противоположного события: ₂₎ Вероятность невозможного события: P() = 0Если , то ₃₎Вероятность заключена между 0 и 1: ₄₎Вероятность объединения двух событий: ₅₎Вероятность объединения любого конечного числа событий

Доказательство. Поскольку , то, согласно расширенной аксиоме сложения, , откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утв. 1. Утв. 2 вытекает из равенства A = A +  и расширенной аксиомы сложения. Пусть . Тогда B = A + (B\A). В соответствии с расширенной аксиомой сложения P(B) = P(A) + P(B\A). Отсюда и из аксиомы неотриц. приходим к утв. 3. В частности, так как всегда , то с учетом аксиомы неотриц. получаем утв. 4. Поскольку , , то, используя расширенную аксиому сложения, находим и . Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность P(B\A), выраженную из второго равенства, приходим к утв. 5. Утв. 6 можно доказать с помощью метода матем. индукции. Так, для трех событий A, B и С:

2.Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных, полученных в результате наблюдений. Двумя основными задачами математической статистики являются: 1)определение способов сбора и группировки этих статистических данных; 2) разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к которым относятся: а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других случайных величин и т.д.; б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного распределения. Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно сделать прогноз относительно исследуемого признака этих объектов. Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Первичная обработка результатов. Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х₁ п₁ раз, х₂ – п₂ раз, …, х_к – п_к раз, причем где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х₁, х₂,…, х_к называют вариантами, а п₁, п₂,…, п_к – частотами. Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом: