Лекция 4 (1124305)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

18

Лекция 4(23 сентября 2002 года).

2⁰. Функция Жуковского.

Определение. Функцией Жуковского называется (рациональная функция 2ого порядка).

Она осуществляет непрерывное отображение: . В каких точках отображение конформно? - конформное отображение. т.е. в 0 и отображение конформно. Рассмотрим остальные точки: здесь конформность нарушается.

Вывод. Функция Жуковского конформна в , за исключением точек .

Найдём области однолистности функции (биективности). Это любая область, не содержащая одновременно точек . Почему? С одной стороны они переходят в 2 точки, с другой это биекция, следовательно, такого не может быть.

Пример однолистности области. А) Единичный круг. .

Б) Верхняя полуплоскость. . Почему? Рассмотрим инверсию.

Задача. Функция Жуковского ? Найти эту область.

Решение. Рассмотрим расслоение единичного круга на окружности радиуса r.

, куда переходит окружность? Уравнение окружности: , вычислим: . . - полуоси. Найдём фокусное расстояние: Фокусы находятся в точках . Предельные случаи такие:

Пусть почти окрестность большого радиуса. область стягивается к отрезку. искомая область, т.е. доказано.

Теорема. Функция Жуковского осуществляет конформное отображение единичного круга на область G, равную с разрезом .

Хотим выразить z через w (функцией Жуковского). - функция, обратная функции Жуковского. Знак выбрали так, чтобы z лежало в единичном круге (помним, что ).

Задача. Куда функция Жуковского отображает верхнюю полуплоскость?

3⁰. Экспонента, логарифм и степенная функция.

Рассмотрим - голоморфизм во всём С (но не расширенном). В каких точках отображение конформно?

Вывод. Отображение конформно в каждой точке.

Область однолистности – любая область, не содержащая различных точек, отличающихся на период. (Период: ).

Пример. 1) Рассмотрим Куда экспонента отображает эту область?

Решение. , а угол меняется от 0 до .

Ответ: На области z: семейство прямых. На области w: семейство полуокружностей с радиусом от 1 до 2. Можно было фиксировать у. Экспонента переводит прямоугольную декартову сетку координат в полярную.

2) . С помощью отображения можно отобразить сетку с углом в сетку с углом . - это используется для .

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1⁰. Спрямляемые и гладкие кривые.

Пусть - произвольная кривая на плоскости. , введём обозначение: Обозначим: - длина произвольной ломанной. .

Определение. Величина - длина кривой.

Определение. Если конечно, то кривая называется спрямляемой.

Замечание. В терминах действительного анализа спрямляемая кривая – непрерывная функция ограниченной вариации.

Задача. 1) Доказать, что длина кривой не зависит от выбора параметризации.

Пусть - строго возрастающая и непрерывная функция на т.ч. - имеют одну и ту же длину.

2) Доказать, что , параметр разбиения, т.е. .

3) Привести пример не спрямляемой кривой.

Определение. - гладкая кривая, если функция непрерывна, дифференцируема на отрезке [a,b] и .

Задача. Доказать, что длина гладкой кривой вычисляется по формуле:

2⁰. Определение интеграла.

Пусть - произвольная кривая, т.е. , , - это обозначения.

Пусть Ф: - произвольная комплексно-значная функция на отрезке [a,b]. Рассмотрим разбиение с отмеченными точками: . Составим интегральную сумму: .

Определение. Интегралом называется: , если этот предел существует. Обозначение интеграла: - интеграл от Ф по .

Замечание. В терминах действительного анализа мы дали определение интеграла Римана-Стильтьеса.

Задача. 1) Доказать, что интеграл не зависит от выбора параметризации.

2) Теорема - ния: Если кривая спрямляема, а функция Ф непрерывна, то существует.

3) Если Ф – непрерывна, а - гладкая кривая, то - с помощью введения параметризации.

Замечание. 1) Обычно интеграл используется в следующих частных случаях. Дана - множество точек на комплексной плоскости. Положим: - это важно для кривых с самопересечениями.

2) , т.е. интеграл от функции комплексного переменного = сумме двух криволинейных интегралов 2-ого рода.

3⁰. Свойства интеграла.

1. Интеграл от единичной функции. , где интеграл берётся по любой кривой, соединяющей точку А и В.

2. Линейность интеграла. .

3. Ориентированность интеграла. .

4. Аддитивность.

5. Оценка интеграла. Пусть - длина . на , тогда .

Замечание. 1) Предположим, что все интегралы

2) Все свойства доказываются по стандартной схеме: написать их для интегральных сумм и перейти к пределу. Рассмотрим на примере 1-ого свойства: .

3) Уточним, что такое ? Кривая – функция на отрезке. Без ограничения общности пусть это будет [0,1]. Тогда .

4) Свойство аддитивности мы берём в качестве определения интеграла по формальной сумме кривых.

4⁰. Примеры.

(

1) , где интеграл берётся по любой спрямляемой кривой, соединяющей точки А и В. Посчитаем, исходя из определения. Если кривая спрямляема, то предел существует. Интегральные суммы: знаем, что сходятся к I.

Возьмём среднее арифметическое: .

(2) Вычислим интеграл: Это гладкая кривая, следовательно введём параметризацию и тогда посчитаем. Уравнение окружности (параметризуемое): . т.к. это интеграл от sin, cos по периоду.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

Замечание. Если замкнутая и спрямляемая кривая, то .

Почему? Т.к. и

Гипотеза: Поскольку равенство 0 верно для линейной функции (по замкнутой кривой), тогда верно для любой голоморфной функции.

1⁰. Интегральная теорема Коши для односвязной области.

Теорема1. Если: 1) D – односвязная область

2) - замкнутая и спрямляемая кривая, лежащая в области D.

3) f(z) – голоморфная функция в D. Тогда

Доказательство(НЕ ПРАВИЛЬНОЕ). По теореме Грина в силу 2ого условия Коши-Римана. - непрерывны в D для условия теоремы Грина, а мы не знаем на самом деле того, что они непрерывны , так доказывать теорему нельзя…

Доказательство(ПРАВИЛЬНОЕ).

Замечание. 1) Теорему достаточно доказать для замкнутых ломаных.

Т.к. любую кривую можно приближать ломаной сколько угодно точно (по теореме Кантора о равномерной непрерывности) и интегралы по ломаным стремятся к длине кривой.

2) Теорему достаточно доказать для многоугольника (замкнутой ломанной без самопересечений). Т.к. точка пересечения разбивает любую замкнутую на многоугольники.

3) Теорему достаточно доказать для . Т.к. в любом многоугольнике диагонали, многоугольник разбивается на -ки.

Лемма (Турса). Если - замкнутый, функция f – голоморфна на , то .

Доказательство. Обозначим: проведём средние линии .

. Обозначим . К нему применим те же рассуждения. ,

. И т.д. т.е. оценка снизу существует.

Оценка сверху: по определению производной: Тогда (т.к. интеграл от линейной функции = 0). Оценим этот интеграл. Напишем определение о («о» малого)

(меньше диаметра, меньше периметра). Т.е. мы доказали, что лемма доказана, теорема доказана.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций