Linal10 (Электронные лекции)
Описание файла
Файл "Linal10" внутри архива находится в папке "Электронные лекции". Документ из архива "Электронные лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Linal10"
Текст из документа "Linal10"
Теорема. Пусть 
– векторное пространство с невырожденной кососимметричной формой 
(билинейной). Тогда 
и существует разложение 
где 
, 
при 
. Кроме того, ограничение на 
имеет в некотором базисе матрицу 
.
Проведем индукцию по 
. 
- противоречит невырожденности. Пусть 
.
Берем произвольный 
из . Тогда 
и т.к. 
то 
такой что
. При этом 
и 
линейно независимы. Можно выбрать так, что 
и для все доказано.
Пусть теперь
. Выберем любой из . Т.к. то такой что
и , линейно независимы.
Обозначим 
. Дополним до базиса : 
. Рассмотрим 
. Тогда 
– подпространство, более того – пространство решений однородной системы линейных уравнений:
Где 
– матрица в базисе 
Т.к. невырождена, то строки 
линейно независимы 
ранг системы равен 2. Поэтому 
и 
. Если ограничение на пространство имеет ненулевое ядро 
, то 
, что противоречит невырожденности, а это значит, что ограничение на – невырожденная кососимметричная билинейная функция
По индукции 
и все 
имеют требуемые базисы 
Следствие. Для любой кососимметрической билинейной формы на пространстве существует базис, в котором она имеет матрицу
Где количество блоков 
равно половине ранга .
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
1. Пусть - векторное пространство над 
Опр. Симметрическая билинейная функция - скалярное произведение, если она положительно определенна. Т.е. если вести обозначение 
:
2. Опр. Евклидово пространство - векторное пространство над с заданным на нем скалярным произведением 
Опр. Матрица Грамма – на ij-том месте стоит 
, где 
- вектора базиса Евклидова пространства.
Опр. Длина (норма) вектора: 
Свойства: 
Теорема. (неравенство Коши - Буняковского) 
при всех 
дискриминант 
уравнения 
отрицателен или равен нулю, где 
. Но 
Следствие 1. (неравенство треугольника) 
Следствие 2. 
3. Угол между векторами
Существует единственный угол 
такой, что 
Это угол между 
и 
. 
4. Ортогональные векторы
Опр. 
и
ортогональны, 
, если 
Следствие 1. (теорема Пифагора) 
Следствие 2. Диагонали ромба перпендикулярны
Опр. - ортогональный базис , если 
. - ортонормированный, если он ортогональный и 
Теорема. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Пусть 
- квадратичная форма на . Она невырождена и положительно определенна, следовательно существует базис , в котором 
, т.е. матрица 
(и соответствующая ей матрица скалярного произведения) равна 
5. Изоморфизм евклидовых пространств
Пусть и - два евклидовых пространства
Опр. 
- изоморфизм евклидовых пространств, если:
-
![]()
- изоморфизм векторных пространств -
![]()
Теорема. Конечномерные евклидовы пространства и изоморфны тогда и только тогда, когда 
Пусть . Рассмотрим ортонормированные базисы 
. Если 
, то 
. Задаем отображение :
. Тогда 
- изоморфизм векторных пространств, и 
Обозначение. 
- n-мерное евклидово пространство.
6. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта
Теорема. Пусть 
- линейно независимые вектора . Тогда существует ортонормированная система 
, такая что 
для любого 
Будем действовать пошагово. 
: 
.
Пусть 
уже построен. Тогда 
для любого i. Положим 
, где 
. Тогда 
, 
. Если 
, то нормируем его.
Следствие. Любую ортонормированную систему векторов в можно дополнить до ортонормированного базиса.
6. Ортогональные дополнения
Опр. 
Свойство 1: 
- подпространство
Свойство 2: 
Теорема. Пусть - конечномерное евклидово пространство. Тогда для любого подпространства выполнено равенство: 
Если 
, то 
и не пересекаются 
. Пусть - ортонормированный базис и 
. Положим 
, и 
. Тогда 
, т.е. 
и 
Следствие. 
. Если 
, то 
