LinAl9 (Электронные лекции)

6. Квадратичные формы

Опр: - квадратичная форма, если  симметричная билинейная форма , такая, что В этом случае говорят, что - полярная билинейная форма для q.

Предложение. Полярная БФ определена однозначно, если



Опр: Матрица квадратичной формы q в базисе - матрица ее полярной БФ.

Пример. Пусть для . Тогда .

Опр: Ранг квадратичной формы – ранг полярной БФ.

Опр: - невырожденная квадратичная форма, если (т.е. )

Опр: Канонический вид квадратичной формы

Опр: Нормальный вид квадратичной формы , и все

7. Алгоритм Лагранжа (приведения к каноническому виду).

Пусть . Метод заключается в выделении полных квадратов.

 (1) Пусть , например, . Тогда где т.е. p(x) не зависит от x₁. Положим

Тогда , где Следовательно, и можно считать, что C^-1 - матрица перехода к некоторому новому базису, в котором вектор имеет вид

По индукции  невырожденная замена переменных такая, что Положим Тогда где и - координаты в некотором базисе, т.к. Y = DX, и

(2) Предположим, что Пусть . Сделаем замену Тогда и где в нет Далее как в п. (1).

(3) Все 

8. Вещественные квадратичные формы

Пусть V – пространство над - квадратичная форма на V. Тогда в V существует базис, в котором q(x) имеет нормальный вид где - не зависит от выбора базиса.

Теорема. (закон инерции ) Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса (т.е. s и r-s всегда одни и те же).

Пусть (в базисе ) (в базисе ). Предположим, что t < s. Обозначим Тогда Пусть Т.к. то где Аналогично, q(a)  0 т.к. Противоречие. Следовательно, t не может быть меньше s и наоборот. 

Опр: Если то s – положительный индекс инерции, а число (r – s) – отрицательный индекс инерции q.

Опр: Квадратичные формы p(x) и q(x) эквивалентны, если существует невырожденная матрица A, такая, что , где P и Q – матрицы p и q.

Следствие. Формы p(x) и q(x) эквивалентны  положительные и отрицательные индексы инерции совпадают.

 1)  Приведем к нормальному виду.

2)  аналогично. 

9. Теорема Якоби.

Пусть - матрица квадратичной формы f. Главные миноры .

Лемма. Ядро невырожденной симметрической БФ равно нулю.

 Пусть весь вектор матрица f в . Тогда где Но если Z – вектор-столбец, для которого то Z = 0. Следовательно, Но 

Теорема (Якоби). Пусть q – вещественная квадратичная форма с матрицей F, и Тогда  базис V, в котором q имеет вид где

Индукция по n.

1) Положим Тогда

2) n > 1. Обозначим Пусть f на U имеет матрицу По предположению индукции  базис в котором

Рассмотрим базис пространства V. Пусть Тогда - система из (n-1) линейных уравнений с n неизвестными   ненулевое решение Если то Но - ограничение f на U – невырожденная БФ, а - невырожденная квадратичная форма  (по лемме) на U. Условие u – решение системы означает, что -противоречие. Следовательно, Это значит, что -базис V, в котором f имеет матрицу причем

Пусть C – матрица перехода  тогда где Отсюда Но Положим Тогда и 

10. Положительно определенные квадратичные формы.

Опр: q – положительно определена на V, если

Канонический вид:

Нормальный вид:

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма q с матрицей F положительно определена .

Предположим, что Тогда ограничение f – полярная БФ на имеет нетривиальное ядро (доказать!). Но тогда для некоторого - не положительно определенная. Следовательно, все . Теперь все следует из теоремы Якоби. 

Опр: Симметричная БФ называется положительно определенной, если - положительно определенная квадратичная форма.

11. Канонический вид кососимметричной БФ

Пусть - кососимметричная БФ на V и

Замечание: Кососимметричная (или симметричная) БФ f невырождена (для фиксированного ).

Лемма. Пусть Тогда для любого подпространства такого, что ограничение f на невырождено.

Если для некоторого то (т.к. где .

Т.к. 

05.03.05