LinAl8 (Электронные лекции)

БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

1. Определение.

F – поле, V – векторное пространство над эти полем.

Опр. Функция называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу. То есть :

1)

2)

2. Матрица билинейной формы.

Пусть - базис V. Обозначим .

Опр. называют матрицей билинейной формы f в базисе .

Координатная запись. , . Тогда :

, где

, , , а .

3. Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса.

Пусть и - два базиса пространства V. Пусть С – матрица перехода от базиса к базису . Пусть

Тогда:

, . Отсюда

, где - матрица в базисе . С другой стороны , где - матрица в базисе .

Замечание. Если для любых столбцов выполняется равенство , то матрицы В и А равны.

Пусть , .

Учитывая замечание, получаем : .

4. Симметрические и кососимметрические билинейные формы.

Опр.: называется симметрической билинейной формой, если .

Опр. называется кососимметрической билинейной формой, если .

Если , то функции не может быть одновременно симметрической и кососимметрической.

Пусть симметрическая билинейная форма, тогда , то есть, матрица симметрическая. .

Аналогично, если - кососимметрическая билинейная форма, то .

Эти свойства не зависят от замены базиса.

Опр. Ядром симметрической (кососимметрической) билинейной формы называют:

.

(множество векторов ортогональных V).

Можно рассматривать понятие ядра для произвольной билинейной формы, но в таком случае левое и правое ядра могут не совпадать.

Опр. Рангом билинейной формы называют ранг её матрицы. .

Определение ранга билинейной формы не зависит от выбора базиса, т.к. при переходе к новому базису её матрица домножается слева и справа на невырожденные матрицы, и её ранг не изменяется.

Опр. называется невырожденной, если , т.е. .

5. Канонический базис для симметрической билинейной формы.

Опр. Базис будем называть каноническим базисом симметрической билинейной функции , если .

Теорема. ( ) У любой симметрической билинейной функции существует канонический базис.

Доказательство проведём индукцией по .

Базис индукции: - очевидно.

Пусть . Предположим существование базиса для . Пусть . Тогда:

, т.е. , и любой базис является каноническим.

Пусть теперь . Рассмотрим . Понятно, что является подпространством , причём . Но - линейное уравнение ( - линейное уравнение), а значит . По индукции существует базис в такой, что . - канонический базис для симметрической билинейной формы .

05.03.05