LinAl7 (Электронные лекции)

Теорема. Пусть  – нильпотентный оператор на V. Тогда V можно разложить в сумму циклических подпространств для .

Индукция по dim V. Если dim V = 1, то V = <v>,  v = 0. Пусть dim V > 1. Обозначим U = (V). Если U = 0, то V – прямая сумма одномерных циклических подпространств. Пусть U  0. Ясно, что (U)  U.

Шаг 1: Т.к. ker   0, то dim U < dim V (по инд.) – сумма циклических подпространств, где U₁ = <u₁, u₁, …>, … U_k = <u_k, u_k, …>. Т.к. U = (V), то u₁ = v₁,…, u_k = v_k. Докажем, что векторы , u₁,…, u_k, u₁,…,u_k… (все ненулевые векторы вида ^m(v_j)) линейно независимы. Пусть w = ₁v₁ + … + _kv_k + ₁u₁ + … + _ku_k + … = 0. Применим : ₁u₁ + … + _ku_k + ₁u₁ + … + _ku_k + … = 0. Т.к. это линейная комбинация базисных векторов пространства U, то все коэффициенты ₁, … _k, ₁, …, _k, … равны нулю.

Шаг 2: Обозначим за W_i = <v_i, u_i, u_i,…>. Это циклическое подпространство для , и, по доказанному в Шаге 1, их сумма – прямая, . Теперь докажем, что (W) = U. Включение (W)  U очевидно. Пусть Тогда x = ₀u_i + ₁u_i + … + _m^mu_i. Пусть y = ₀v_i + _iu_i + … + _m^m-1u_i. Тогда y = x. Если то y_i = x_i  (y₁ +… + y_k) = x  (W) = U.

Шаг 3: Если W = V, то теорема доказана. Пусть W  V. Тогда , линейно независимые, и Заменим на следующим образом:

– если w_j = 0,

– если w_j = x_j  0, то y_i = x_i (см. Шаг 2). В этом случае положим

Шаг 4: Векторы обладают следующими свойствами:

1. 

3. – линейно независимы

Докажем, например, 2). Если , то все _i = 0. ( 3) – аналогично). Из 1), 2), 3) следует, что – разложение V в сумму циклических подгрупп для . 

Следствие. Пусть : VV – нильпотентный оператор на V. Тогда  базис V, в котором матрица  имеет вид  = , где B_i – квадратные матрицы вида

Разложим V в прямую сумму циклических подпространств для оператора . В каждом циклическом подпространстве U = <u, u, …, ^tu> , ^t+1u = 0 выберем базис e₁ = ^tu, e₂ = ^t-1u, …, e_t+1 = u. Объединяя эти базисы, получаем наше утверждение. 

5. Жордановы матрицы

Опр. Жорданова клетка J_m, – матрица m x m вида

Опр. Жорданова матрица – блочно-диагональные матрицы из Жордановых клеток

,

Опр. Жорданова матрица A называется Жордановой нормальной формой (ЖНФ) матрицы B, если B = C^-1AC, где C – некоторая невырожденная матрица.

Теорема 1. Любая комплексная матрица обладает ЖНФ.

Пусть A – матрица n x n. Рассмотрим пространство V над размерности n (dim V = n), с базисом e₁, …, e_n. Пусть : VV – линейный оператор с матрицей A в этом базисе. Для A существует корневое разложение , где – собственные числа . Зафиксируем одно из подпространств: и рассмотрим действие на U оператора  =  - . Тогда действие  на U нильпотентно (по доказанному ранее) и также по доказанной теореме  разложение циклических подпространств. По предыдущему следствию в U есть базис, в котором  имеет блочно диагональную матрицу B = , а каждая B_j – жорданова клетка с  = 0. Поскольку  =  + _i, то (U_j)  U_j и в том же базисе U оператор  имеет матрицу B = A + _iE = , где все J₁, …,J_r – жордановы клетки вида . Рассмотрев отдельно все мы поcтроим базис пространства V, в котором матрица A является жордановой матрицей T. Если C – матрица перехода , то T = C^-1AC. 

Следствие. Для любого линейного оператора на конечномерном комплексном пространстве можно выбрать базис, в котором матрица оператора является жордановой матрицей.

6. Единственность ЖНФ

Теорема 2. ЖНФ матрицы A единственна с точностью до перестановки клеток

Пусть A – жорданова матрица n x n. , где - жордановы клетки.

Обозначим: - число клеток J_m, среди . Сначала выведем формулу для . Пусть : VV – линейный оператор на n-мерном пространстве с матрицей A.

Обозначим: Тогда Здесь - единичные матрицы соответствующих размеров.

1) Если и , то размер (A_j).

2) Если , то - матрица нильпотентного оператора  =  -  на циклическом (для ) подпространстве U. Вычислим Пусть v, v, …, ^s-1v – циклический базис для  в U. Тогда ^t(U) = < ^tv, …, ^s-1v> (или 0, если ). Отсюда , если t < s и u = 0 если .

3) Найдем разность для A. Пусть - размеры всех клеток среди с собственным числом . Тогда для клеток с числом имеем разность можно считать только по клеткам с . Поэтому Т.е. - число клеток J_m, среди , у которых . Отсюда ) - ( - число клеток J_k+1,  формула , где

Пусть A и D матрицы двух жордановых нормальных форм одного оператора с матрицей В. Тогда: ( - некоторая матрица), . Поэтому

(т.к. F является невырожденной). Преобразование мы использовали следующее: . Таким образом, . Это и есть единственность. 

28.02.05