LinAl6 (Электронные лекции)

ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА

В этом разделе будем считать, что , – векторное пространство, над , . Эту теорию можно развивать над любым полем, но наиболее важные результаты получаются, когда поле замкнуто.

1. Корневое подпространство

Пусть , – собственное значение оператора на .

Рассмотрим (при это определение собственного подпространства). Тогда выполняется:

1) (собственное подпространство принадлежит ).

2) В частности, из 1) следует, что .

3) – подпространство в . (доказательство очевидно: если , то ).

– корневое подпространство, отвечающее корню .

Лемма 1. Пусть , , … – различные собственные значения . Тогда .

Пусть . Если , то , где . . Обозначим и . Тогда: , .

Таким образом, если вектор принадлежит и , то он равен .

2. Нильпотентные операторы

– нильпотентный оператор, если .

Утверждение. Если нильпотентен на и , то .

По теореме Гамильтона-Кэли , . Если , то всё доказано. Пусть теперь . Подставим в многочлен . Тогда существует выражение (наименьшая степень выражается через старшие) для некоторого . Так как нильпотентен, существует : . Если , то и подавно , если , то (домножая равенство двумя строками выше на пока слева не будет ) получим, что . Провернув это доказательство для этой обнуляющей степени несколько раз получим .

Другое [более нормальное, народ, пользуйтесь им] доказательство того, что :

1) Если , то минимальный многочлен ( ) (так как он делит аннулирующий многочлен ).

2) По теореме Гамильтона-Кэли и определению минимального многочлена делится на .

Лемма 2. Пусть , – собственное значение . Тогда – инвариантное для подпространство и действует на нильпотентно.

1) Инвариантность

Пусть . Докажем, что . . . Итак .

2) Нильпотентность действия

Положим . Выберем базис . Тогда . Если , то .

3. Разложение в сумму корневых подпространств

Теорема. Пусть , , где при . Тогда выполняется:

1)

2) Все инвариантны относительно действия .

3) Действие на нильпотентно.

4)

5) Единственным собственным значением на является .

1) Положим . Тогда . Пусть – произвольный вектор из . , , где .

Таким образом . Следовательно, . Эта сумма прямая по лемме 1.

2), 3) – лемма 2.

5) Пусть и . Тогда – это одно из чисел . Если , то .

4) Выберем базисы во всех подпространствах и объединим их. Мы получим базис во всём пространстве . В этом базисе имеет матрицу , где – квадратная матрица размера , . Обозначим через ограничение на , т.е , . Тогда имеет матрицу и только одно собственное значение .

. .

4. Нормальный базис для нильпотентного оператора

Пусть оператор нильпотентный, – подпространство в . – циклическое подпространство для оператора , если , , .

Свойства циклического подпространства:

1) – инвариантное подпространство для (т.е. ) – по определению.

2) – базис

То, что любой вектор выражается через этот базис – очевидно.

Докажем линейную независимость.

26.02.05