LinAl4 (Электронные лекции)
Описание файла
Файл "LinAl4" внутри архива находится в папке "Электронные лекции". Документ из архива "Электронные лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "LinAl4"
Текст из документа "LinAl4"
3. Линейные операторы.
Пусть V=W. Тогда 
– множество линейных операторов на V (т.е. линейных отображений 
)
Если 
и 
линейные операторы на V, 
– скаляр, то
То есть 
– алгебра линейных операторов.
Линейная алгебра
(а) - векторное пространство над 
(б) - векторное кольцо (относительно сложения и умножения)
(в) 
Другое обозначение: =
Алгебра изоморфна алгебре матриц 
, где
.
4. Матрица линейного оператора.
Пусть 
– базис пространства V, и 
.
Опр. Если 
, то 
матрица в базисе 
(j-й столбец А – координаты вектора 
в базисе )
Тогда, если 
, то Y=AX
5. Переход к другому базису.
Пусть 
и 
два базиса V. Пусть , А – матрица в 
, B – матрица в 
, Пусть С – матрица перехода от к , т.е. 
Теорема. 
Посчитаем 
двумя способами:
1) 
2) 
Отсюда 
, т.е. 
, значит СВ=АС, т.к. С – невырождена, то 
6. Определитель и след линейного оператора.
Предложение. det и tr не зависят от выбора базиса.
и 
7. Определение.
Оператор – невырожденный, если det A
0. Критерий невырожденности
– невырожденный 
Ker =0 Im = V rank A = dim V
8. Инвариантные подпространства.
Пусть – линейный оператор на V и 
.
Опр. U называется инвариантным подпространством для , если 
(т.е. 
)
Пусть 
– базис U. Дополним его до базиса V . Тогда 
, причем 
, т.е. матрица А имеет в базисе 
угол нулей 
, В - 
, D - 
.
Если 
и 
, 
, то существует базис V, в котором 
.
9. Собственные векторы, собственные значения.
Опр. 
– собственный вектор оператора , если существует скаляр 
такой, что 
; 
– собственное значение.
Свойство. V – собственный вектор 
– инвариантное подпространство.
Теорема. Число является собственным значением оператора 
т. и т.т., когда 
, где Е – тождественный оператор на V (E(х)=х)
1) Пусть v – собственный вектор, 
. Зафиксируем базис в V. Если Х – столбец координат v в этом базисе, то 
(где А – матрица в ) 
, где Е – единичная матрица. Следовательно, если собственное значение равно , то 
2) Пусть , тогда (А, Е – матрицы , Е в базисе ) система имеет ненулевое решение 
вектор 
– собственный,
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН ОПЕРАТОРА
1.
А – матрица оператора в некотором базисе пр-ва V.
Опр. Многочлен от переменной t 
называют многочленом оператора А.
не зависит от выбора базиса: если В – матрица А в другом базисе, то 
и 
.
Опр. Характеристический корень оператора: – характеристический корень, если 
.
Замечание. – характеристический корень – собственное значение оператора.
2. Геометрическая и алгебраическая кратность.
Пусть А – линейный оператор на V.
Обозначим: 
– множество всех векторов из V с собственным значением (+ нулевой вектор)
Тогда 
– подпространство V.
Опр. 
– геометрическая кратность .
Опр. Алгебраическая кратность - кратность в многочлене .
Лемма. 
, где , 
.
Пусть А – матрица , а Х – столбец координат вектора v. Тогда 
, т.е. – подпространство решений системы 
Теорема. Геометрическая кратность не превосходит алгебраической.
Выберем базис в и дополним его до базиса всего V. Пусть А – матрица А в , тогда
, где 
имеет размер 
, а 
- и 
19.02.05
