LinAl3 (Электронные лекции)

1. Определение.

Базис пространства , такой, что называется дуальным (или сопряжённым) к базису пространства .

Обозначим за пространство, сопряжённое . Тогда, как мы уже знаем, . Мы уже говорили, что 2 пространства изоморфны, если они имеют равные размерности, но в данном случае, кроме того, можно установить особое соответствие: канонический изоморфизм.

2. Определение.

Отображение называется каноническим изоморфизмом и задаётся следующим образом: если - это вектор из , то . Это и есть определение .

Проверим, что отображение --- изоморфизм между и . Для начала --- что линейная функция.

1) Проверим, что , то есть линейная функция из в : , то есть --- действительно линейное отображение из в , что означает, что это отображение задано корректно.

2) Проверим линейность отображения (сначала то, что сумма переходит в сумму). , то есть мы проверили, что . , то есть . Наконец, нужно проверить биективность отображения . Пусть , где --- базис (то есть мы взяли вектор из и разложили его по базису ). Если --- дуальный базис , то . Так как хотя бы один , то и . То есть . Следовательно, --- инъективное отображение (разные векторы имеют разные образы). Потому что для линейного множества достаточно проводить проверку для «0», что мы уже только что проделали. Пусть и обозначим . Возьмём . Тогда , то есть . Значит, сюръективно, что завершает доказательство биективности . И, следовательно, тем самым нами установлено, что --- изоморфизм.

Теорема. Векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда , такие что: .

1) Пусть линейно зависимы, то есть существуют коэффициенты (хотя бы один отличен от 0), такие что . Пусть --- столбцы матрицы (*). Тогда линейная комбинация столбцов .

2 ) Теперь пусть --- линейно независимы. Дополним до базиса : и возьмём дуальный базис . Тогда , что и требовалось доказать.

Пусть и --- множество векторов из , таких, что обращаются в

. То есть, т.е. решение системы линейных

уравнений

Теорема. 1) Пусть . Тогда , где .

2) Любое подпространство является пространством решений некоторой системы

.

1) Пусть сначала --- линейно независимы. Тогда дополним до базиса в и возьмём дуальный базис в , тогда эти базисы связаны со следующим соотношением: . Пусть . Тогда , то есть в этом случае , причём . Если же линейно зависимы, то существует максимальная линейно независимая подсистема, например, , такая что . Но тогда если , то . То есть (см. выше) отсюда мы уже доказали, что , следовательно, 1) доказано.

2) Пусть --- любое подпространство. Выберем базис в так, что . Если --- дуальный базис , то

Следствие 1. Множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством в арифметическом пространстве .

Следствие 2. Любое подпространство в является пространством решений некоторой однородной

системы линейных уравнений.

Пусть – подпространство. По предыдущей теореме существуют , такие что:

. Если --- базис , --- базис (дуальный), то

. Если , то

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ОПЕРАТОРЫ

1. Линейные отображения.

Пусть и --- векторные пространства над .

Опр. Функция называется линейным отображением, если

.

Ядро: --- подпространство в .

Образ: --- подпространство в .

Опр. - множество всех линейных отображений (благодаря знанию значений на базисе можно восстановить значение на любом элементе).

2. Задание линейных отображений матрицами.

--- базис , --- базис . . Тогда .

Опр. --- матрица отображения в базисах , .

Пусть (т.к. разложение по базису в пространстве определено однозначно) или (столбцы).

Теорема. При фиксированных базисах в и существует взаимнооднозначное соответствие между линейными отображениями из этого множества и матрицами х .

Введём обозначение матрицы}, .

1) Сюръективность : если взять матрицу , то для неё можно подобрать соответствующее линейное отображение: Зададим на базисе : .

2) Инъективность. Пусть и . Тогда матрица разности отображений

Опр. Если и конечномерны, то ранг это размерность образа, .

Теорема.

Пусть --- базис . Тогда Столбцы матрицы линейного отображения линейно независимы, это означает, что линейно независимы в .

Теорема.

Опять же фиксируем базис: пусть --- базис , --- базис , --- матрица в этих базисах. . Через обозначим . Тогда

(а) - решение системы линейных уравнений .

(б) (предыдущая теорема) = . Следовательно,

Следствие 1. Следующие условия, наложенные на , эквивалентны:

1) инъективно, 2) , 3) .

Следствие 2. Пусть , . Тогда .

1) Если , то . ( ).

2) Пусть теперь ядро = 0. . Тогда инъективно (по предыдущему следствию 1 ) и образ = , следовательно - образ отображения .

Замечание. Линейность Тогда линейна.

14.02.05

3