LinAl25 (Электронные лекции)
Описание файла
Файл "LinAl25" внутри архива находится в папке "Электронные лекции". Документ из архива "Электронные лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "LinAl25"
Текст из документа "LinAl25"
4. Связь с определителями
Теорема. Пусть - векторное пространство над полем и . Тогда векторы линейно независимы в том и только в том случае, если .
Пусть сначала линейно зависимы. Обозначим через их линейную оболочку. Тогда . Из следствия (см. предыдущую лекцию) получаем что , а с другой стороны . Следовательно .
Пусть теперь линейно независимы. Тогда в существует базис , такой, что . В этом случае - один из базисных элементов (см. теорему из предыдущей лекции) алгебры . Поэтому .
Замечание. . Если - произвольный элемент , то не всегда .
Пусть теперь , - базис , и . Их внешнее произведение можно явно выразить через произведения . Пусть - координаты вектора в базисе , т.е. . Введём обозначение:
В матрице, столбцы которой – координаты векторов , вычеркнуты все строки, кроме .
Теорема. Пусть - базис , и , - любые векторов в . Тогда
Рассмотрим в этой сумме ту часть слагаемых, у которых множество одно и то же. Слагаемые этой суммы отличаются только порядком следования этих индексов, т.е. эта часть суммы равна . При этом произведение равно , где знак подстановки , а сами можно считать упорядоченными: . Поэтому .
Вспомним формулу для определителя . Отсюда следует, что . Это означает, что множитель перед равен .
7 мая 2005