LinAl23 (Электронные лекции)
Описание файла
Файл "LinAl23" внутри архива находится в папке "Электронные лекции". Документ из архива "Электронные лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "LinAl23"
Текст из документа "LinAl23"
Опр. Отображение 
на пространстве 
(или 
) называют альтернированием.
Теорема. Отображение A является линейным оператором на со следующими свойствами:
1) 
2) 
3) 
1) Поскольку 
, то 
, учитывая, что 
и 
. При фиксированном 
и при 
, пробегающем все подстановки из 
произведение 
также пробегает . Поэтому 
и не зависит от . Следовательно 
.
2) Пусть 
. Тогда 
, а значит (по определению) 
- кососимметричный тензор, откуда и следует 
. Обратное включение следует из того, что для всякого кососимметричного тензора 
.
3) Равенство 
доказывается так же, как и равенство 
(см. пред. пункт). 
Замечание. Отличие теоремы для только в том, что 
.
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Опр. A - алгебра над полем F, если
1) A – ассоциативное кольцо с операциями 
2) A – векторное пространство над F.
3) 
Рассмотрим бесконечную прямую сумму 
. , где K - поле, V – векторное поле над ним.
Опр. Пространство 
с умножением 
, где 
называется тензорной алгеброй пространства V. Она ассоциативна.
Рассмотрим в подпространство 
. Позже мы покажем, что эта сумма на самом деле конечна (т.е. все слагаемые начиная с некоторого равны нулю). Это подпространство однако незамкнуто относительно тензорного умножения, т.е. не является подалгеброй , поэтому на нем мы введем новое умножение.
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
(АЛГЕБРА ГРАССМАНА)
1. Внешнее умножение.
Опр. Если 
, то 
- внешнее умножение. Если
, то
и считаем, что 
. Также верна дистрибутивность 
.
Опр. Пространство 
с операцией внешнего умножения называется внешней алгеброй (алгеброй Грассмана) пространства V.
2. Ассоциативность внешнего произведения.
Лемма. Пусть 
. Тогда 
.
Так как 
- линейное отображение и 
, то 
. Сопоставим подстановке 
подстановку 
по следующему правилу:
Это отображение 
в 
. Знак 
и 
совпадает. Итак, 
. Поэтому 
. Аналогично, 
.
Теорема. Внешняя алгебра ассоциативна.
Нужно доказать равенство 
. Так как внешнее умножение линейно, то левая и правая часть формулы (1) линейны по 
. Поэтому доказать (1) для частного случая 
. 
.
3. Базис внешней алгебры.
Пусть 
. Тогда 
. Тогда 
.
Следствие. 
Для 
проверено. Далее по индукции: 
30.04.05
