LinAl22 (Электронные лекции)
Описание файла
Файл "LinAl22" внутри архива находится в папке "Электронные лекции". Документ из архива "Электронные лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "LinAl22"
Текст из документа "LinAl22"
Связь координат тензора T и его свертки .
Теорема. Свертка по s-тому ковариантному и r-тому контравариантному индексам тензора T типа (p,q) является тензором типа (p-1,q-1) с координатами
То, что свертка – тензор типа - проверено. Пусть , где . Как и раньше, обозначим через . Обозначим . Тогда
. Знак «домик» означает пропуск соотв. индекса (т.е. ). Соотношение (1) и есть утверждение теоремы.
Пример. Тензор типа (1,1) - это матрица . Его свертка равна - след матрицы A.
Действие симметрической группы на тензорах.
Пусть T – тензор типа , т.е. , и - группа подстановок множества . Для любой определим отображение . Ясно, что - тензор типа . Аналогично можно определить действие на .
Опр. Тензор T типа называется симметричным, если .
Ясно, что - линейный оператор на .
Опр. Симметризацией тензоров из называется отображение .
Пример. Возьмем подстановку . Тогда
Обозначим через подпространство всех симметричных тензоров из .
Теорема. Действие симметризации на обдадает следующими свойствами:
(а) Если T – симметричный тензор, то .
(б) Покажем, что симметризация любого тензора симметрична. . Из формулы получаем (т.к. ). Пункт (б) означает, что . Теперь из (а) следует, что и из (б) и (а) следует 1).
КОСОСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Опр. Тензор называют кососимметричным, если , где - знак подстановки. Эквивалентно, . Кососимметричные тензоры образуют подпространство в , которое принято обозначать .
Опр. Элементы (т.е. p раз контравариантные кососимметричные тензоры) называют внешними p-формами или внешними формами степени p на V.
Аналогично вводятся множество кососимметричных контравариантных тензоров на (название – q-вектора).
25.04.05