LinAl2 (Электронные лекции)

5. Координаты в различных базисах.

Пусть и - два базиса , .

Теорема.

, где - матрица перехода от нештрихованной системы к штрихованной.

.

6. Изоморфизм векторных пространств.

Отображение , где и - векторные пространства над одним и тем же полем называется изоморфизмом, если

1) .

2) - биекция.

Замечание. 0 переходит в 0 (т.к. ), и только он так как преобразование биективно.

Теорема. Конечномерные векторные пространства и изоморфны .

Пусть , - базис в , тогда - базис в . Действительно, пусть эти вектора линейно-зависимы, т.е.

Пусть .

ПОДПРОСТРАНСТВО

1. Определение.

- векторное простанство над , . - подпространство, если выполнено .

Замечание. - подпространство относительно тех же операций, что и .

2. Линейная оболочка.

Пусть , тогда линейной оболочкой этих векторов называется множество всех их линейных комбинаций. .

Теорема. Линейная оболочка совпадает с наименьшим подпространством в , содержащим эти вектора.

Действительно, из определения прямо следует, что - подпространство в . С другой стороны, любое подпространство, которого содержит вектора будет содержать и всевозможные их комбинации, т.е. . Значит - наименьшее подпространство, содержащее .

3. Сумма и прересечение двух подпространств.

Пусть и - подпространства в . Суммой этих подпространств будем называть множество .

Лемма. и - подпространства.

Проверить по определению все свойства.

Теорема. Пусть - подпространства в , тогда 1) - подпространство или .

и 2) если , то .

1) Пусть и , т.е. Но тогда не принадлежит ни (иначе ), ни (иначе ). Значит - не подпространство. Противоречие.

2) Итак дано, что . Пусть . Тогда

Но тогда и так как . Обратное включение выполняется вообще Действительно, пусть . Тогда . С другой стороны,

Размерность суммы и пересечения.

Пусть .

Теорема.

Пусть - базис Тогда существуют дополнения его до базисов и , т.е. - базис и - базис . Докажем, что набор - базис суммы . Пусть . Тогда u – линейная комбинация векторов из , и в то же время лежит в (так как выражается через базис подпространства ). То есть , но ведь - линейно-независимая система! Значит . Линейная независимость доказана. Разложимость любого вектора по этому базису очевидна. = число векторов в этом базисе = .

4. Прямая сумма подпространств.

Пусть даны подпространства и . называется прямой суммой этих подпространств (обозначается ), если если .

Теорема. Сумма - прямая .

Пусть Тогда Но получается - два разложения нуля! Значит .

Пусть все пересечения тривиальны (т.е. это лишь 0). Пусть и, например, . Тогда . Противоречие (пересечение содержит ненулевой элемент).

ЛИНЕЙНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Пусть - векторное пространство над и - линейная функция, если . Ядром функции назывется подмножество , на каждом элементе которого функция равна 0: . Ядро – подпространство в . Также если - линейные функции, то и их линейные комбинации с коэффициентами из также линейны.

Сопряженное (дуальное) пространство - множество всех линейных форм (функций).

Теорема. Пусть - конечномерное векторное пространство. Тогда .

Выделим базис в и рассмотрим . Т.е. значение равно символу Кронекера .

1) - линейная функция.

2) - линейно-независимы. Пусть и . Но ! Противоречие.

3) - базис. Действительно, рассмотрим произвольную функцию и обозначим . Тогда , т.е. .

12.02.05