LinAl18 (Электронные лекции)
Описание файла
Файл "LinAl18" внутри архива находится в папке "Электронные лекции". Документ из архива "Электронные лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "LinAl18"
Текст из документа "LinAl18"
n=3 Примеры движений
Собственное
В
екторное движение – поворот вокруг некоторой прямой и сдвиг на вектор, параллельный оси вращения, т.е.
Частные случаи – сдвиг или вращение
Н
есобственное
1
) вращение с отражением
2
) скользящая симметрия (отражение относительно некоторой плоскости 
и сдвиг на вектор, параллельный )
Теорема. Любое собственное движение 
трёхмерного евклидового пространства является винтовым движением. Любое несобственное движение 
является либо вращением с отражением, либо скользящей симметрией.
Пусть 
- евклидово пространство, 
, 
- движение. В 
существует ортонормированный базис 
,
,
, канонический для 
. Зафиксируем начало координат – точку 
. Тогда
1) 
или 2) 
или 3) 
или 4) 
Случай 1
, 
Случай 2
Как и при n=2 находим 
такие, что
Тогда после переноса начала координат в точку 
имеем
в новых координатах. Т.е. - винтовое движение.
Случай 3
Вводим новые координаты: 
, 
, 
. Тогда
т.е. это сдвиг на вектор 
и отражение относительно плоскости 
.
Случай 4
Ищем точку 
,
,
как решение системы
Это возможно, т.к. матрица 
невырождена 
.
Переносим начало координат в точку 
, получаем
В новых координатах это поворот в плоскости 
с отражением относительно этой плоскости. 
КВАДРИКИ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
1. Квадратичные функции в аффинном пространстве
Пусть 
- аффинное пространство.
Опр. Отображение 
называют квадратичной функцией, если 
, (1)
где 
- квадратичная форма на , a 
.
Задача Показать, что если 
задана формулой (1) с фиксированной точкой 
, то для любой другой точки 
выполняется соотношение 
.
Опр. Ранг квадратичной функции : 
.
2. Координатная запись
Пусть 
- система координат в 
и 
, 
.
Тогда 
(2)
3. Центральная точка
Пусть 
, , 
. Пусть также 
- полярная к биллинейная симметрическая форма на . Тогда
,
т.е. 
.
Опр. Точку 
называют центром (или центральной точкой) , если 
Другими словами 
(3), где 
(т.е. ).
В координатной записи центральной точки 
это означает, что если начало координат является центральной точкой квадрики, то линейная часть 
в формуле (2) отсутствует.
Опр. 
- множество всех центральных точек .
4. Нахождение центра
Пусть , . Тогда 
, 
(4)
Т.е. (4) – критерий центральной точки 
.
Теорема. Множество центральных точек квадратичной функции , заданной формулой (2) в системе координат , состоит из точек , где - решение системы
уравнений (4). Если 
- одна из центральных точек , то 
, где 
- гиперплоскость в . В частности - аффинное подпространство в .
Уже, показано, что задаётся С.Л.У.(4). Если она совместна, то множество её решений – аффинная плоскость в с направляющим пространством 
, заданным системой 
, 
. Но это система уравнений 
, т.е. 
.
5. Приведение квадратичной функции к каноническому виду.
Теорема. Пусть - квадратичная функция ранга 
на 
-мерном аффинном пространстве над 
.
Если 
, то 
и в некоторой системе координат приводится к виду
, (5) где 
.
Если имеет непустой , то существует система координат с началом в центральной точке , в которой приводится к виду:
(6)
При этом и значение в любой центральной точке равно 
.
Выберем в канонический базис 
для . Для произвольной точки 
в системе координат 
функция имеет вид (для 
): 
, причём , т.к. 
.
Замена координат вида 
, 
; 
, т.е. перенос начала координат в соответствующую точку 
к виду
.
Если все 
, то имеет вид (6)
Пусть 
. Возьмём 
и положим
, 
, 
,...,
,
,…,
.
Тогда в новых координатах будет иметь вид (5).
11.04.05
