LinAl16 (Электронные лекции)

Определитель Грама и объем параллелепипеда

Пусть E– евклидово аффинное пространство,

V – ассоциированное с ним векторное евклидово пространство

, , - ортонормированный базис

Опр. Параллелепипед в E, заданный точками

Объем зададим так:

Теорема.

Заметим, что , ;

Итак, .

Аффинная группа

Пусть (A,V) – n-мерное аффинное пространство, и -биективное аффинно-линейное отображение, то есть . Обозначим . Так как f-биективное, то .

Покажем, что - тоже аффинное-линейное. Для этого покажем, что

Так как , то . Но , . То есть - аффинно-линейное.

Есть тождественное отображение . Оно аффинно-линейное, его дифференциал

Так как умножение ассоциативно, то можно взять все биективные аффинно-линейные отображения A в себя (операция композиции), получим группу.

Осталось проверить только, что композиция задана корректно.

Теорема. Совокупность всех аффинных биективных преобразований (т.е. аффинно-линейное отображение ) образует группу.

Не доказано только, что если f и g – афинно-линейные, то и fg - тоже аффинно-линейное.

Пусть . Тогда , то есть -аффинно-линейное с дифференциалом .

Самые простые преобразования – параллельные переносы и сдвиг.

Опр. Отображение , называют сдвигом на в A, где .

Если , то есть -аффинно-линейное отображение . Оно биективно, значит - аффинное преобразование.

Ясно, что . - абелева подгруппа в . G- группа, f- ее подгруппа.

Опр. (H - нормальная подгруппа в G), если она выдержанно сопряжена любым групповым элементам, т.е. .

-группа всех невырожденных матриц (группа обратимых линейных операторов n-мерного -пространства).

Теорема (о структуре аффинной группы).

1) Подгруппа сдвигов T – нормальная в , и равна ядру гомоморфизма , где .

2) Аффинное преобразование, оставляющее неподвижной некоторую точку , образующую подгруппу в , изоморфную .

1) Мы уже доказали, что

Это и означает, что гомоморфизм групп ,

Гомоморфизм сюръективен.

Пусть теперь . Тогда .

Докажем, что этим свойством обладает только сдвиг.

Заметим, сначала, что если , , то , .

Поэтому .

Вектор не зависит от , так как если , то .

Обозначим . Тогда , то есть . В ядре кроме сдвигов ничего нет.

2) Очевидно, что -подгруппа в . Так как

не содержит сдвигов, то ограничение D на H инъективный гомоморфизм . Покажем теперь его сюръективность. Построим нужное аффинное преобразование. Пусть , где F произвольный невырожденный оператор на V.

Тогда если , то , то есть f-аффинное преобразование, причем и .

Следовательно, -изоморфизм групп.

Теорема. Любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции , где .

Возьмем , положим . Тогда g-аффинно-линейное преобразование. . Очевидно, .

Координатная запись аффинных преобразований

Пусть система координат в аффинном пространстве и –аффинное преобразование с линейной частью .

Пусть F–матрица в базисе , а – координаты точки в той же системе координат, то есть . p - точка с координатами .

Тогда . Если - координаты вектора , то .

То есть . Отсюда и если – координаты ,то или , где .

4 апреля 2005