LinAl15 (Электронные лекции)

ЕВКЛИДОВЫ ТОЧЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1. Евклидова метрика.

Опр. Аффинное пространство называется евклидовым точечным пространством, если - евклидово векторное пространство.

Опр. Расстояние между точками:

Свойства метрики :

i)

ii)

iii) - неравенство треугольника

Опр. Система координат называется прямоугольной, если - ортонормированный базис .

Опр. Отображение называют изоморфизмом евклидовых пространств и , если - изоморфизм аффинных пространств и

Теорема. Любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны.

Пусть и прямоугольные системы координат в и .

Зададим . , . Тогда изоморфизм аффинных пространств, а сохраняет длины векторов, т.е. - изоморфизм евклидовых точечных пространств.

2. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть - евклидово пространство, , и - точки из . Прямую, проходящую через и будем обозначать как . Пусть - плоскость размерности в , и .

Опр. Прямая перпендикулярна плоскости , если , т.е. .

Предложение. Если , , и , то

. Из следует . .

Пусть теперь , -подпространство в , , - базис ,

- базис .

Теорема. Из точки можно опустить перпендикуляр к , . Его длина есть кратчайшее расстояние от до . Точка находится из условия ,

(*) где , а

где , а - определитель Грама.

Тогда . Положим , . Поскольку , то ,т.е. .

Вычислим координаты в базисе .

Тогда Отсюда

Получаем систему уравнений

Ее определитель, это - определитель Грама. Не равен нулю, т.к. вектора линейно независимы. По правилу Крамера система имеет единственное решение задаваемое (*).

3. Расстояние между плоскостями.

Пусть и - две плоскости в евклидовом пространстве

Опр. Отрезок - общий перпендикуляр к и , если и .

Лемма1. Любые две плоскости имеют общий перпендикуляр.

Пусть Будем искать точки ,

такие что и . Т.к. , то . Разложим V в сумму . Тогда . Тогда и определены однозначно, причем . Отсюда . Если взять , то . Т.е. поэтому - общий перпендикуляр к и .

Лемма2. Если отрезок - общий перпендикуляр к и , то .

Пусть , , . Тогда , . Отсюда . . Т.к. - общий перпендикуляр к и , то . Следовательно

Теорема. Для любых двух плоскостей и в найдутся такие точки , что выполнено и отр. - общий перпендикуляр к и , он определен однозначно . ( u - направляющие плоскости и ).

Существование доказано в Лемме1 и Лемме2. Пусть и два перпендикуляра.

Тогда , так что , . Как и в Лемме2 (*). Поскольку и два перпендикуляра, то . Следовательно . Таким образом при общий перпендикуляр только один. Если же , то , то и - общий перпендикуляр.

2.04.05