LinAl14 (Электронные лекции)

Теорема. Пусть – система координат в и . Если имеют координаты , соответственно в , то . Если и , где , то r имеет координаты .

(1) Пусть , . Тогда , но

.

(2)

Переход к новой системе координат.

Пусть и – две системы координат в . Обозначим через координаты точки в , а через матрицу перехода от к в V. Пусть и - координаты одной и той же точки p в разных системах координат. Тогда или , где , , или , где .

4. Подпространства.

Пусть , U – подпространство в V.

Опр. Множество точек называют аффинным подпространством (или плоскостью в A) размерностью . Говорят, что U – направляющее подпространство для P.

Предложение. Подпространство P является аффинным подпространством, ассоциированным с U.

Пусть , . Тогда и . Далее, пусть . Тогда . Пусть также , , . Тогда и , т.е. : . Единственность очевидна.

Направляющее пространство U однозначно определяется по P.

Опр. Прямая – подпространство размерности 1.

Прямая, проходящая через :

Теорема. Подмножество является подпространством P содержит прямую, проходящую через любые 2 точки .

(1) Пусть сначала P – плоскость, .

Пусть , , . Тогда и , .

(2) Обратно, пусть P содержит все прямые.

Возьмем любую точку . Обозначим . Докажем, что U – подпространство в V.

Пусть . Тогда . Но , поэтому , т.е. для . Достаточно теперь доказать, что для любых . Но это следует из того, что P содержит прямую pq для любой точки p: если , то , т.е. и

Следствие. Если и - плоскости в A, то их пересечение либо пусто, либо является плоскостью с направляющим подпространством , где – направляющие подпространства для и .

Если P содержит ровно одну точку, то это 0-мерное подпространство с . Если , то, по теореме, P содержит прямую ab P – подпространство.

Зафиксируем точку . Тогда, если , то , т.е. . Поэтому . Обратное включение очевидно.

Опр. Плоскости и называются параллельными, если они имеют одно и тоже направляющее подпространство U, т.е. .

Обобщение. , P параллельно Q, если или .

Опр. Плоскости P и Q называются скрещивающимися, если они не параллельны, но .

Опр. Точки называются точками общего положения, если они не лежат ни в одной плоскости размерности r-2.

Само можно рассматривать как 1-мерное аффинное пространство. Поэтому можно рассматривать аффинно-линейное отображение , т.е. , где , т.е. .

Если – система координат в и – координаты точки P, то обозначив , ( ), получим:

, т.е. любое линейное уравнение можно рассматривать как уравнение в аффинном пространстве А размерности n, где – аффинно-линейная функция.

Теорема. Множество точек аффинного пространства, удовлетворяющих совместной системе линейных уравнений ранга r, образуют (n-r)-мерную плоскость . Любая плоскость может быть получена.

(1) Сопоставим системе m аффинно-линейных функций.

Зафиксируем систему координат в и положим , где , тогда и . Пусть совместна и – ее решение. Возьмем точку с координатами . Будем говорить, что точка p с координатами решение нашей системы, если . Тогда – решение, а вектор – решение однородной системы (*).

Т.к. совокупность решений (*) – подпространство , а любое решение неоднородной системы получается из прибавлением решений однородной системы, то множество точек p, для которых равно , т.е. это плоскость и .

(2) Пусть теперь P – плоскость в А, . система уравнений , , задающая U, где – координаты вектора в некотором базисе пространства .

Рассмотрим систему координат в . Тогда , , где – координаты p в выбранной системе координат. Обозначим получим необходимую совместную систему линейных уравнений.

28.03.05