LinAl12 (Электронные лекции)
Описание файла
Файл "LinAl12" внутри архива находится в папке "Электронные лекции". Документ из архива "Электронные лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "LinAl12"
Текст из документа "LinAl12"
2. Канонический базис для ортогонального оператора.
Теорема. Пусть 
— ортогональный оператор в 
. Тогда существует ортонормированный базис, в котором матрица имеет вид:
(1) По лемме 1 (см. самосопряжённые операторы) у есть инвариантное подпространство 
. По лемме 5: 
. Следовательно, 
— инвариантные подпространства, 
или 
. Кроме того, 
не содержат инвариантных подпространств 
и 
. При этом 
.
(2) Пусть 
. Тогда 
и 
.
(3) 
, 
— ортонормированный базис 
, 
— матрица 
в этом базисе, 
по лемме 4. Тогда 
.
(а) Предположим, что 
. Вычислим 
:
. Отсюда 
корни на — вещественные, следовательно, существует собственный вектор в 
в есть 1-мерное — инвариантное подпространство. Противоречие.
(б) остался случай 
. Тогда
, поэтому 
. Значит, система имеет единственное решение. Подходит 
. 
3. Полярное разложение.
Теорема. Пусть — невырожденный линейный оператор на евклидовом пространстве 
. Тогда существуют ортогональный оператор и самосопряжённый оператор 
с положительными собственными значениями, такие, что 
.
1) Положим, что 
, где 
— сопряжённый к . Тогда 
. То есть 
самосопряжён.
2) Существует ортонормированный базис, в котором имеет матрицу 
. Пусть 
— одно из собственных чисел , и 
— собственный вектор. Тогда 
. Отсюда и 
, то есть все 
— положительны.
3) Существует самосопряжённый оператор с матрицей 
в том же базисе. Ясно, что 
и — невырожденный.
4) Положим 
. Тогда 
так как 
. То есть ортогонален.
Тем самым мы доказали существование полярного разложения.
УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Эрмитовы (полуторалинейные) формы.
Пусть — линейное пространство над 
.
Определение. 
— эрмитова форма на , если 
, причём:
1) 
2) 
(комплексное сопряжение).
Следствие 1. 
.
Следствие 2. 
.
Следствие 3. 
.
Следствие 4. 
.
2. (Эрмитово) скалярное произведение.
Пусть — комплексное пространство.
Определение. Скалярное произведение на — эрмитова положительно определённая форма. Обозначение: 
. Положительная определённость: 
из .
3. Ортогональность.
Пусть — унитарное пространство, то есть комплексное пространство со скалярным произведением.
Определение. и 
ортогональны, если 
.
Теорема. В конечномерном унитарном пространстве можно выбрать ортонормированный базис, т.е. 
.
Пусть 
— произвольный базис . Возьмём любой 
. Умножая на (вещественный) скаляр, можно считать 
. Пусть теперь 
. Тогда 
— уравнения с 
неизвестными 
. Так как 
, то 
— подпространство в , 
. По индукции (
) в есть ортонормированный базис 
. Положив, 
, получаем ортонормированный базис 
в .
4. Унитарные и Эрмитовы матрицы.
Пусть 
— комплексная матрица 
.
Обозначим: 
( 
— комплексное сопряжение).
Определение. Матрица — эрмитова, если 
.
Матрица — унитарная, если 
.
Теорема. Пусть — матрица перехода от одного ортогонального базиса к другому ортогональному базису. Тогда унитарна.
Пусть 
— матрица перехода от 
к 
. Если 
, то 
. Если 
— элементы 
-ого столбца , то 
— элементы -ой строки у матрицы 
.
Произведение -ой строки на 
-ый столбец равно 
. Но это есть 
, так как 
. Поэтому 
, так как базис ортонормирован. Следовательно, 
и — унитарная матрица.
6. Сопряжённый оператор.
Пусть — унитарное пространство, 
.
Определение. 
— сопряжённый к , если 
.
Как и в вещёственном случае: 
и 
.
Теорема. Пусть и , 
— матрицы и в ортонормированном базисе. Тогда 
.
.
14.03.05
3
