LinAl1 (Электронные лекции)

ВВЕДЕНИЕ

1. Определения.

Пусть дано поле . Множество называется векторным (линейным) пространством над полем , если выполнены следующие свойства:

1 - абелева группа по сложению.

2 Определено умножение скаляров из поля на на элементы , результатом этого умножения является новый элемент , причем:

• ;

• ;

• ;

где

3 В поле есть единичный скаляр .

Опр. Вектором называется элемент векторного пространства.

2. Линейная зависимость.

Векторы называются линейно-независимыми тогда и только тогда, когда (не все равные 0), такие, что .

Следствие. линейно-независимы тогда и только тогда, когда

Набор векторов будем называть базисом , если

1 такие, что .

2 линейно-независимы.

Предложение 1. Пусть и - два базиса пространства. Тогда .

Разложим векторы первого базиса по второму базису . Если строчки скаляров линейно-зависимы, то зависимы и (так как можно взять их линейную комбинацию с теми же коэффициентами, что обнуляют строки вида ). Так как число линейно-независимых строчек не превосходит , то . Аналогично

Опр. Размерностью пространства будем называть число векторов в любом базисе . Обозначается .

Предолжение 2. Базис – максимальная линейно-независимая система векторов (максимальная – значит наибольшая по включению).

Действительно, пусть есть вектор, который будучи добавленным к базису, образует вместе с ним по-прежнему линейно-независимую систему. Но тогда этот вектор не выражается через вектора базиса! Обратно, если дана максимальная линейно-независимая система, то она является базисом, так как любой другой вектор выражается через ее вектора (иначе можно было бы дополнить систему этим вектором).

Предложение 3. линейно-независимых векторов.

Будем дополнять систему векторов до базиса. Этот процесс будет продолжаться сколь угодно долго (т.к. иначе пространство имеет конечную размерность). А так как система будет всегда линейно-независима, то имеем систем линейно-независимых векторов сколь угодно большой длины.

4. Матрицы перехода от базиса к базису.

Пусть - два базиса . Тогда существуют скаляры такие, что . Тогда матрица называется матрицей перехода от базиса к базису .

Свойства матрицы :

1 -тый столбец матрицы - столбец координат вектора в старом базисе (нештрихованном).

2 .

Задача. Известны матрицы перехода . Доказать, что матрица перехода из первой системы в третью .

07.02.05