КИ семинар 7 (Семинары по криволинейным интегралам)
Описание файла
Файл "КИ семинар 7" внутри архива находится в папке "Семинары по криволинейным интегралам". Документ из архива "Семинары по криволинейным интегралам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "КИ семинар 7"
Текст из документа "КИ семинар 7"
Занятие 7. Криволинейный интеграл 1-го рода.
П усть дана (неориентированная) линия L с концами точках А и В и функция трех переменных f(x, y, z) = f(M), определенная в каждой точке . Разобьем линию L на п (необязательно равных) частей точками А = С0, С1, С2, ..., Cn-1, Cn = B. Выберем на каждой дуге Ck-1Ck произвольную точку , обозначим через длину хорды , k = 1, 2, ..., n и пусть − мелкость полученного разбиения Tn линии L (см. Рис.1). Составим интегральную сумму . Если существует конечный предел таких интегральных сумм при стремлении мелкости разбиения к нулю ( ),не зависящий от способа разбиения линии L на п частей и выбора точек Сk. то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x, y, z) по линии L, и обозначается:
Криволинейный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле
В случае параметрического задания кривой C: , имеем:
Рассматривают также криволинейные интегралы первого типа от функции трех переменных f(x, y, z) взятые по пространственной кривой, которые вычисляются аналогично. Криволинейный интеграл 1-го типа не зависит от направления пути интегрирования: если подынтегральную функцию f интерпретировать как линейную плотность кривой C, то этот интеграл представляет собой массу кривой C.
Задачи. ОЛ-4 10.48, 51, 54, 58, 59, или ОЛ-5: 2293, 2295, 2297, 2299, 2301, 2306.
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2293. , где C контур квадрата .
2295. , где C четверть эллипса лежащая в первом квадранте.
2297. , где C − дуга развертки окружности , , .
2299. , где C − правый лепесток лемнискаты .
2301. , где С − первый виток винтовой линии , , .
2306. Найти массу первого витка винтовой линии , , если плотность в каждой точке равна радиусу-вектору этой точки.
Домашнее задание (6): ОЛ-4 10.49, 53, 56, 60, или ОЛ-5: 2294, 2296, 2298, 2300, 2302, 2307.
2294. , где С − отрезок прямой, соединяющий точки O(0; 0) и A(1; 2).
2296. , где С − первая арка циклоиды , .
2300. , где С − дуга кривой х = t, , z = t3 (0 ≤ t ≤1).
2307. Определить координаты центра тяжести полуарки циклоиды , , .