КИ семинар 4 (Семинары по криволинейным интегралам)
Описание файла
Файл "КИ семинар 4" внутри архива находится в папке "Семинары по криволинейным интегралам". Документ из архива "Семинары по криволинейным интегралам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "КИ семинар 4"
Текст из документа "КИ семинар 4"
Занятие 4. Вычисление тройных интегралов.
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена некоторая функция f(x y, z), где x, y, z − прямоугольные координаты точки области.
Выберем произвольное разбиение области V на области Vi (обозначая символом Vi не только саму область, но и ее объем):
В пределах каждой частичной области Vi выберем произвольную точку Pi и обозначим через f(Pi) значение функции f в этой точке. Составим интегральную сумму вида
(1)
и будем неограниченно увеличивать число малых областей Vi так, чтобы наибольший диаметр diam Vi стремился к нулю (Диаметром области называется максимальное расстояние между точками, лежащими на границе области).
Определение. Если существует предел интегральных сумм вида (1) при стремлении диаметра разбиения к нулю, и он не зависит от выбора разбиения области V на Vi, то этот предел называют тройным интегралом от функции f по области V, и обозначают его
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех обыкновенных (однократных) интегралов или к вычислению одного двойного и одного однократного.
Пример. Вычислить 
, где область V определяется неравенствами 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy.
Решен и е. Имеем
Замена переменных в тройном интеграле. Если в тройном интеграле 
от переменных x, у,z требуется перейти к переменным и, и, w, связанным с x, у, z соотношениями 
, 
, 
, где функции 
1) непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;
2) устанавливают взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области интегрирования V пространства OXYZ и точками некоторой области V пространства O'UVW;
Задачи: ОЛ-4 гл. 8 § 2: 8.108, 111, 112, 116, 119, 121, 124, 127, или ОЛ-5: 2240, 2242, 2245, 2249, 2253, 2255, 2257.
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле для указанных областей V:
2240. V тетраэдр, ограниченный плоскостями x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.
2242. V конус, ограниченный поверхностями
Вычислить следующие интегралы 
Домашнее задание: ОЛ-4 гл. 8 § 2: 8.109, 113, 115, 118, 120, 126, 128, или ОЛ-5: 2241, 2243, 2247, 2250, 2254, 2256, 2258.
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле для указанных областей V:
Вычислить следующие интегралы 
Ответы: 
