КИ семинар 11 (Семинары по криволинейным интегралам)

Занятие 11. Дивергенция и ротор векторного поля. Теорема Гаусса-Остроградского. Теорема Стокса. Циркуляция.

Дивергенция и вихрь. Дивергенцией векторного поля G(Р) = Pi + Qj + Rk называется скаляр . Вихрем векторного поля G(Р) называется вектор

.

Если S − замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая область V, а Р = Р(х, у, z). Q = Q(х, у, z), R = R(x, у, z) − функции, непрерывные вместе со своими частными производными 1-го порядка в замкнутой области V, то имеет место формула Остроградского−Гаусса

где , , − направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Поток вектор G. Потоком векторного поля G(Р) через поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали n = ( ,  ,  ) к поверхности S, называется интеграл

Формулу Гаусса-Остроградского можно записать так (Если S − замкнутая поверхность, ограничивающая область V, а n − единичный вектор внешней нормали к поверхности S)

Циркуляция вектора; работа поля. Линейный интеграл от вектора G по кривой С определяется формулой

(1)

и представляет собой работу поля G вдоль кривой С (G_s − проекция вектора G на касательную к С).

Если кривая С − замкнутая, то линейный интеграл (1) называется цирку-ляцией векторного поля а вдоль контура С.

Если замкнутая кривая С ограничивает двустороннюю поверхность S, то справедлива формула Стокса, которая в векторной форме имеет вид

где n − вектор нормали к поверхности S, направление которого должно быть выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению n, обход контура С совершался в правой системе координат против хода часовой стрелки. Еще один вид формулы Стокса:

Задачи. ОЛ-4 гл. 10 § 3: 10.95, 103, 105, 108, 102, 110, 119, 121, 116, или ОЛ-5: 2361, 2365, 2367, 2369, 2355, 2356, 2360.

Домашнее задание: ОЛ-4 гл. 10 § 3: 10.96, 99, 104, 109, 111, 114, 117, 118,

или ОЛ-5: 2362 2364, 2366, 2368, 2370, 2357, 2358, 2359.

С помощью формулы ОстроградскогоГаусса вычислить следующие поверхностные интегралы:

Применяя формулу Стокса, найти данные интегралы и проверить результаты непосредственным вычислением:

Ответы: