КИ семинар 1 (Семинары по криволинейным интегралам)
Описание файла
Файл "КИ семинар 1" внутри архива находится в папке "Семинары по криволинейным интегралам". Документ из архива "Семинары по криволинейным интегралам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "КИ семинар 1"
Текст из документа "КИ семинар 1"
Занятие 1. Двойные интегралы: расстановка пределов, изменение порядка интегрирования и вычисление.
1. Непосредственное вычисление двойных интегралов. Двойным интегралом от непрерывной функции f(x, y), распространенным на ограниченную замкнутую область D плоскости XOY, называется предел следующей интегральной суммы (если этот предел существует)
где точки (xi, yi) принадлежат замкнутым областям Di, таким что, и , λ ‑ мелкость (диаметр) разбиения, , ; .
2. Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле. Различают два основных вида области интегрирования.
I) Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми x = x1 и x = x2 (х2 > x1), а снизу и сверху непрерывными кривыми y = φ1(x) и y = φ2(x) (φ2(x) ≥ φ1(x)), каждая из которых пересекается с вертикалью х = Х (х1 < X < х2) только в одной точке. В области D переменная х меняется от x1 до х2, а переменная у при постоянном х меняется от y = φ1(x) до y = φ2(x). Вычисление интеграла может быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле
где при вычислении величину х полагают постоянной.
II) Область интегрирования D снизу и сверху ограничена прямыми у = y1 и у = y2, а слева и справа непрерывными кривыми x = ψ1(у) и x = ψ2(у), каждая из которых пересекается с горизонталью у = Y (y1 < Y < y2) только в одной точке. Аналогично предыдущему имеем:
где при вычислении интеграла величина у считается постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых относится к одному из этих двух видов.
Задачи: ОЛ-4 гл. 8 § 1: 8.3, 8, 9, 12, 13, 19, 20, 28, 33, или ОЛ-5: 2116, 2117, 2121, 2125, 2128, 2136, 2138, 2142, 2143.
Написать уравнения линий, ограничивающих области, на которые распространены нижеследующие повторные интегралы, и вычертить эти области:
2128. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле , где S − треугольник с вершинами O(0; 0), A(1; 0), B(1; 1).
Переменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:
2136. . 2138. . 2142. . 2143. .
Домашнее задание: ОЛ-4 гл. 8 § 1: 8.4, 7, 10, 14, 18, 21, 32, 34,
или ОЛ-5: 2115, 2119, 2122, 2124, 2123, 2139, 2144, 2146.
2115. . 2119. . 2122. . 2123. . 2124. . 2139. . 2144. .
2146. , где область интегрирования S ограничена прямой, проходящей через точки A(2; 0), B(0; 2), и дугой окружности с центром в точке C(0; 1), радиуса 1.
Ответы: 2116. 9/4. 2117. 50,4. 2121. x = y2/4 − 1, x = 2 − y, y = −6, y = 2. 2125. y = 0, , x = 0, x = 3. 2128. . 2136. . 2138. . 2142. . 2143. .
2115. π/12. 2119. 2,4. 2122. . 2124. . . 2123. . 2139. . 2144. . 2146. 1/6.