146

7. Системы счисления, коды, двоичная арифметика.

7.1 Системы счисления.

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах значение конкретной цифры постоянно и не зависит от её расположении в записи числа.

Римская система записи числа: XXXV

В позиционной системе счисления зависимость конкретной цифры определяется её местоположением в записи числа. Так произвольное число R в позиционной системе счисления с основанием q в общем случае можно представить в виде полинома:

R_q= r_n-1q^n-1 +r_n-2q^n-2+……+ r₀q⁰+……..+ r _-mq ^–m

где r_i- разрядный коэффициент (r_i=0….q=1);

q_i- весовой коэффициент.

Число q называется основанием системы счисления.

Разряды с положительными степенями q образуют целую часть числа R_q, с отрицательными – дробную.

Цифры r_n-1 и r _–m соответственно являются старшими и младшим разрядами числа.

Количество различных чисел, которое может быть записано в позиционной системе счисления с основание q при заданном числе разрядов

N=q^n+m

В цифровой технике широкое распространение получила позиционная система счисления с основанием q=2 – двоичная система счисления, имеющая два цифровых знака 0 и 1.

В цифровой технике также используются системы счисления с основанием 4,8,10,16.

Любое цифровое устройство имеет определенное количество разрядов. Совокупность таких разрядов, в которых записывается двоичные числа, называют разрядной сеткой. Эта разрядная сетка используется для записи чисел и команд. Рассмотрим восьмиразрядную сетку:

2 ⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹2⁰

0 1 1 1 1 1 1 1 Рис.7.1 R₂>0 0 1 1 0 1 0 1 1

мантисса числа

знак числа R₂<0 1 1 1 0 1 0 1 1

Для чисел с фиксированной запятой старший разряд (восьмой) используется для записи знака числа, а остальные семь – мантиссы числа.

Введем понятие прямого кода, обратного кода, дополнительного кода.

П рямой код R₂= 0 1 1 0 1 0 1 1

R_пр= 0 1 1 0 1 0 1 1

О братный код R₂= 0 1 1 0 1 0 1 1

R_обр= 1 0 0 1 0 1 0 0

Д ополнительный код R₂= 0 1 1 0 1 0 1 1

R_доп= R_обр+1 1 0 0 1 0 1 0 1

7.2 Двоичная система счисления.

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную

Х10	Х2
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111
16	10000

926 2

8 463 2

1 2 4 231 2

1 2 6 2 115 2

6 6 3 10 57 2

6 3 2 15 4 28 2

2 11 14 17 2 14 2

1 10 1 16 8 14 7 2

1 1 8 6 3 2

1 2 1

1

0 1 1 1 1 0 0 1 1 1

926₁₀=1110011110

Система счисления – это код, в котором используются специальные символы для обозначения количества каких – либо объектов. В десятичной системе применяются символы 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Общее количество символов в десятичной системе равно 10, и поэтому её иногда называют системой счисления с основанием 10. В двоичной системе счисления используется только два символа 0 и 1, и поэтому её называют системой счисления с основанием 2.

7.3 Двоично–десятичная система счисления 8421.

Вес разряда

Сотни Десятки Единицы

Десятичное число 9 2 6

1001 0010 0110

Десятичное число	Двоичное число	Число в коде 8421
0	0000	0000
1	0001	0001
2	0010	0010
3	0011	0011
4	0100	0100
5	0101	0101
6	0110	0110
7	0111	0111
8	1000	1000
9	1001	1001
10	1010	0001.0000
11	1011	0001.0001
12	1100	0001.0010
13	1101	0001.0011
14	1110	0001.0100
15	1111	0001.0110
16	10000	0001.0111

7.4 Код с избытком 3.

Код с избытком 3 используется во многих арифметических схемах.

Чтобы представить десятичное число в коде с избытком 3, мы прибавляем 3 к каждой цифре десятичного числа и затем заменяем полученные цифры соответствующими четырехзначными двоичными числами.

Десятичное число число в коде с избытком 3

4 + 3 = 7 0111

Десятичное число	Число в коде с избытком 3
0	0011
1	0100
2	0101
3	0110
4	0111
5	1000
6	1001
7	1010
8	1011
9	1100
14	0100 0111
27	0101 1010
38	0110 1011
459	0111 1000 1100
606	1001 0011 1001 сот. дес. ед.

7.5 Код Грея.

Код Грея применяется во входных и выходных устройствах систем.

Десятичное число	Число в коде Грея
0	0000
1	0001
2	0011
3	0010
4	0110
5	0111
6	0101
7	0100
8	1100
9	1101
10	1111
11	1110
12	1010
13	1011
14	1001
15	1000
16	11000
17	11001

7.6 Шестнадцатеричные числа 16

числа по модулю 8,

числа по модулю 4.

Шестнадцатеричная система широко применяется в микропроцессорных цифровых схемах для представления 8 и 16 разрядных двоичных чисел.

Х10	Х2	Х4	Х8	Х16
0	0000	000	00	0
1	0001	001	01	1
2	0010	002	02	2
3	0011	003	03	3
4	0100	010	04	4
5	0101	011	05	5
6	0110	012	06	6
7	0111	013	07	7
8	1000	020	10	8
9	1001	021	11	9
10	1010	022	12	А
11	1011	023	13	В
12	1100	030	14	С
13	1101	031	15	D
14	1110	032	16	E
15	1111	033	17	F
16	10000	100	20	10

Преобразование чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

С 3₁₆