Лекция_4 (Лекции в электронном виде)

Лекция 4

Свободные колебания консервативной системы при нелинейной восстанавливающей силе.

Несмотря на то, что все реальные механические системы в общем случае являются нелинейными, при определенных допущениях их можно рассматривать все же как линейную систему. В большинстве случаев мы принимаем допущение о малых колебаниях. Однако, в случае больших отклонений системы от положения равновесия, а также при сугубо нелинейной зависимости восстанавливающей силы от обобщенной координаты, необходимо проведение расчетов уже на основе нелинейной теории колебаний.

В общем случае дифференциальное уравнение движения системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы можно записать в виде:

, где

– обобщенная восстанавливающая сила, нелинейно зависящая от обобщенной координаты q.

В теории колебаний зависимость также называют квазиупругой характеристикой или характеристикой жесткости.

Приведем несколько примеров, когда зависимость носит сугубо нелинейный характер.

Здесь на рисунках, очевидно, первые три схемы дают симметричные характеристики, а четвертая – несимметричную.

Если коэффициент обобщенной жесткости увеличивается с возрастанием q, то есть , то характеристика восстанавливающей силы называется жесткой. Если же уменьшается с возрастанием q, то говорят, что восстанавливающая сила имеет мягкую характеристику.

Точное решение дифференциального уравнения

Для получения точного решения сделаем небольшое преобразование:

Теперь, используя зависимость, запишем дифференциальное уравнение:

.

Предположим, что система совершает колебания. Выберем за начальный момент времени момент, когда система имеет максимальное отклонение от положения равновесия. То есть, иными словами, при .

Разделяя переменные, проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение:

или .

Из этой зависимости получаем новое дифференциальное уравнение:

.

Знак «–» перед корнем взят потому, что при заданных начальных условиях скорость движения системы должна быть отрицательной. Опять разделим переменные и, еще раз интегрируя, получим:

.

Если характеристика восстанавливающей силы симметричная, то время перехода системы из начального положения в положение равновесия ( ) составит четверть периода, то есть:

.

На основании полученного выражения легко определяется частота свободных колебаний нелинейной системы:

.

Из полученных зависимостей следует один очень важный вывод: для нелинейных систем частота свободных колебаний зависит от амплитуды колебаний. График зависимости называется скелетной кривой.

Как видно из полученных зависимостей, даже сравнительно несложная зависимость приведет к сложным неэлементарным функциям, взять интеграл от которых не представляется возможным. Поэтому в теории колебаний разработан ряд методов, позволяющих упростить процесс определения частоты свободных колебаний системы.

В случаях, когда характеристика жесткости состоит из ряда линейных участков, то есть кусочно-линейна, можно воспользоваться уже известным нам методом припасовывания, то есть поэтапным интегрированием дифференциального уравнения.

Пусть кусочно-линейная характеристика механической системы симметрична и состоит из трех участков, границы которых определяются значениями обобщенной координаты и :

Отклоним систему на величину А таким образом, чтобы , и отпустим без начальной скорости, то есть для .

Интегрируя линейное дифференциальное уравнение, соответствующее движению системы по характеристике 1, мы можем определить время выхода системы на границу участков 1 и 2. Кроме того, мы можем определить и скорость движения системы в этот момент времени.

Теперь опять принимаем t=0, и начинаем интегрировать дифференциальное уравнение движения системы, соответствующее второму участку характеристики. Из этого решения определяем время выхода системы на границу участков 3 и 2.

Точно таким же образом определяем время выхода системы в положение равновесия.

В итоге можно записать: , откуда .

В случае несимметричной характеристики необходимо продолжать процесс интегрирования до тех пор, пока система не достигнет противоположного крайнего положения, то есть до тех пор, пока обобщенная скорость не станет равной нулю ( ). В этом случае:

где

n – число линейных участков жесткостной характеристики;

.

Задача

Д ля заданной системы найти методом припасовывания связь между амплитудой колебаний и частотой свободной колебаний.

Решение

Отклоним систему в положительную сторону на величину и отпустим ее без начальной скорости, то есть в момент времени .

Тогда уравнение движения системы по первому участку жесткостной характеристики имеет вид:

,

и его общим решением служит следующее выражение:

,

где , а постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются из начальных условий:

Таким образом:

Время прохождения первого участка жесткостной характеристики найдем из условия, что при , то есть:

, откуда

,

при этом скорость системы:

.

На втором участке жесткостной характеристики движение системы описывается уравнением , которое имеет решение .

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий движения системы на этом участке:

Таким образом:

.

Теперь легко можно определить время попадания системы в положение равновесия ( ).

.

Поскольку характеристика восстанавливающей силы симметрична, то на этом процесс поэтапного интегрирования можно прекратить и определить частоту свободных колебаний:

Если построить скелетную кривую, то она будет иметь вид:

Приближенные методы линеаризации нелинейной характеристики восстанавливающей силы

Как было показано, точное определение частоты колебаний системы с нелинейной характеристикой не всегда возможно. Поэтому для определения частоты свободных колебаний чаще всего используют приближенные методы. Рассмотрим некоторые из них в предположении, что характеристика симметрична.

Простейший способ

В этом случае полагают, что колебания в нелинейной системе происходят по гармоническому закону:

.

Естественно, что записанное таким образом решение дифференциального уравнения при подстановке с него не приводит к тождеству. Однако, в момент прохождения системы через положение равновесия оно будет удовлетворяться. Кроме того, потребуем, чтобы уравнение удовлетворялось принятым решением и в момент максимального отклонения от положения равновесия. В этом случае обобщенное ускорение системы

также должно быть максимальным: .

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение:

,

откуда получаем простую зависимость для определения частоты свободных колебаний нелинейной системы:

.

Естественно, что эта зависимость позволяет в силу принятых допущений оценить зависимость приближенно.

Попробуем оценить точность полученной зависимости для показательной зависимости восстанавливающей силы:

,

для которой имеется точное решение:

,

где – интеграл, определяемый гамма-функцией:

.

Интеграл является функцией показателя степени m и определяется по таблице:

В соответствии с полученным приближенным решением:

.

Как видно, полученное решение правильно определило степень амплитуды (m-1) и не учло значение коэффициента, определяемого интегралом . Однако, для m=1 приближенное и точное значение совпадают полностью. Для m=2 точное значение частоты:

,

а приближенное значение:

.

Таким образом, ошибка определения частоты колебаний в данном случае составляет:

.

Естественно, для каждой функции будет свой процент ошибки.

Способ прямой линеаризации

С уть метода заключается в замене нелинейной характеристики некоторой эквивалентной зависимостью , где величина коэффициента с определяется из соображения наименьшего отклонения линейной характеристики от заданной.

Очевидно, отклонение зависит от обобщенной координаты:

.