Лекция_12 (Лекции в электронном виде)

Лекция 12

Продольные колебания ступенчатого стержня

В случае, если стержень состоит из нескольких участков различного сечения, составляют амплитудные функции для каждого участка. Эти выражения будут содержать 2n постоянных интегрирования, которые определяются из условий сопряжения участков и условий закрепления концов стержня. Это приводит к системе из 2n уравнений относительно постоянных интегрирования. Приравняв к нулю определитель этой системы, получим частотное уравнение.

В качестве примера рассмотрим стержень, состоящий из двух участков разного сечения.

и – площади сечений стержней. Запишем выражения для амплитудных функций:

Для определения постоянных интегрирования запишем граничные условия:

1. левый конец стержня:

2. правый конец стержня:

3. сопряжение участков:

или

Составим определитель этой системы:

или

Это уравнение можно переписать в несколько иной форме:

или .

Решение этого уравнения возможно лишь численными методами с использованием ЭВМ.

С увеличением числа участков решение в значительной степени усложняется.

Вынужденные колебания стержней с распределенной массой

Исследуем продольные колебания стержня с одним закрепленным концом, к свободному концу которого приложена некоторая вынуждающая сила .

П режде чем начать решать эту задачу, вернемся опять к свободным колебаниям стержня. Еще раз запишем дифференциальное уравнение:

Запишем теперь решение этого уравнения в виде произведения двух функций:

,

где – все та же амплитудная функция, а – некоторая неизвестная функция времени. Для свободных колебаний мы принимаем .

Подставим записанное решение в исходное уравнение:

,

и немного преобразуем его:

Эта запись позволяет разделить переменные и записать два дифференциальных уравнения относительно искомых функций и . На основании полученного выражения можно записать:

где k – некоторая неизвестная величина.

В результате небольших преобразований получим следующую систему:

Полученная система уравнений для свободных колебаний позволяет сделать вывод о независимости друг от друга функций и . Поэтому, если к стержню приложить некоторую силу, являющуюся только функцией времени, то это должно отразиться только лишь на виде функции , а функция должна остаться неизменной.

В рассматриваемом нами случае функция была определена нами ранее:

или

Теперь запишем общее решение вынужденных колебаний стержня в прежнем виде:

,

или, учитывая амплитудную функцию для заданного закрепления концов стержня:

где – некоторые подлежащие определению функции времени.

Для нахождения функций воспользуемся принципом возможных работ. То есть для любого возможного перемещения сумма работ всех сил, действующих на стержень, должна быть равной нулю. Для этого опять рассмотрим равновесие весьма малого элемента стержня dz:

Нетрудно сразу отметить, что сумма работ сил S, приложенных к левому и правому торцам элемента dz равна нулю. Поэтому на стержень должны действуют силы инерции, силы упругости и вынуждающая сила P. Определим работу каждой из этих сил на возможно малом перемещении . Для удобства дальнейшего исследования будем считать, что

Для определения работы сил инерции, действующих на каждый малый элемент стержня dz, найдем интеграл:

Учитывая, что найдем . Таким образом:

Таким образом, окончательно получаем:

.

Для определения работы сил упругости необходимо вычислить интеграл:

или

.

Для определения работы вынуждающей силы P отметим, что она приложена к точке стержня с координатой z=l. Поэтому возможное перемещение этой точки:

а работа, выполняемая силой:

Таким образом, можно записать:

или

В соответствии с принятыми обозначениями, можно записать:

.

Для заданного закрепления концов стержня, в свою очередь, это выражение представляет собой квадрат i-ой частоты собственных колебаний стержня. Таким образом, можно записать:

Напомним, что сила P есть некоторая функция времени, вид который, очевидно, и определит зависимость .

Подобные дифференциальные уравнения мы решали, когда исследовали вынужденные колебания механической системы при произвольном изменении вынуждающей силы. В общем виде решение этого уравнения представляется через интеграл Дюамеля:

где коэффициенты и определяются аналогично коэффициентам для свободных колебаний стержня. То есть в начальный момент времени t=0 нужно знать функцию распределения перемещений по длине стержня и функцию распределения скоростей . Однако, если принять, что при t=0 и , то решение значительно упрощается:

.

Таким образом, мы определили функции . Окончательное решение вынужденных колебаний стержня будет иметь вид:

В качестве примера рассмотрим случай, когда в момент времени t=0 к стержню прикладывается постоянная сила P. В этом случае:

Таким образом, окончательно получим:

Задача 1.

О пределить законы движения поперечных сечений стержня с жестко закрепленными концами, если в начальный момент времени t=0 он находился в покое и к середине его длины внезапно приложена постоянная сила P.

Используя заданные условия, можно записать:

и .

Общее решение можно записать следующим образом:

где амплитудная функция была определена ранее и имеет вид:

Тогда общее решение можно представить в виде:

Для определения временных функций воспользуемся тем же методом, что и в предыдущем случае, то есть методом возможных работ. Здесь так же совершают работу три силы: инерции, упругости и вынуждающая сила P.

Будем считать, что .

Определим работу сил инерции:

или

Работа сил упругости:

,

откуда

При определении работы силы P учтем, что она приложена к середине стержня, поэтому:

,

,

.

Таким образом, получим:

или

.

При нулевых начальных условиях решение этого уравнения определяется только интегралом Дюамеля:

Таким образом, общее решение имеет вид:

Задача 2.

О пределить динамические перемещения стержня, если на него действует равномерно распределенная по его длине сила .

При решении задачи будем считать, что в начальный момент времени t=0 балка находилась в равновесии, то есть и . Опять представим решение в виде произведения двух функций:

,

где амплитудная функция . Тогда решение можно выразить следующим образом:

где .

Для использования принципа возможных работ определим работу сил, действующих на стержень, на возможных перемещениях. Как и для предыдущей задачи, можно сказать, что на стержень действуют три силы: инерции, упругости и внешней нагрузки. Принимая , найдем работу этих сил. Используя результаты предыдущей задачи, можно записать:

; .

Несколько сложнее определяется работа внешней нагрузки, которая в нашем случае стала распределенной по длине стержня, поэтому:

Таким образом, составим сумму работ всех сил:

,

или

.

При нулевых начальных условиях решение этого уравнения записывается в виде интеграла Дюамеля:

.

После ряда тригонометрических преобразований и интегрирования получим:

До сих пор мы рассматривали продольные колебания стержней, хотя нами были составлены дифференциальные уравнения и для крутильных колебаний, и для поперечных колебаний струны. Поэтому решим еще несколько задач.

Задача 1 (самостоятельно)

Д ля системы, показанной на рисунке, составить частотное уравнение.

Общее решение можно записать с том же виде, что и для продольных колебаний стержня:

,

где амплитудная функция .

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся концевыми условиями:

Подставляя сюда общее решение, получим:

или

Выразим из первого выражения коэффициент D через C:

и подставим во второе уравнение:

Один из корней полученного уравнения соответствует частоте вращения системы как абсолютно жесткого тела.

Теперь решим две задачи на поперечные колебания струны.

Задача 2.

Составить дифференциальное уравнение малых колебаний струны, лежащей на упругом безынерционном основании, и определить собственные частоты колебаний. Натяжение струны равно , масса единицы длины – . При смещении струны из положения равновесия на нее действует восстанавливающая сила, пропорциональная смещению струны, коэффициент пропорциональности которой – C.

Д ля составления уравнения малых колебаний струны рассмотрим равновесие малого участка струны.

Составим сумму проекций сил на вертикальную ось:

Решение этого дифференциального уравнения будем искать в прежнем виде: