Лекция_10 (Лекции в электронном виде)

Лекция 10.

Свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы при наличии вязкого трения

В этом случае, используя матричную форму записи, систему дифференциальных уравнений можно записать в виде:

где – симметричная матрица коэффициентов демпфирования, то есть ;

– матрица-столбец обобщенных скоростей системы.

Частное решение исходной системы дифференциальных уравнений в этом случае будем искать в несколько иной форме:

или .

Подстановка этого решения в систему уравнений приводит к следующему результату:

,

откуда следует, что для получения нетривиального решения необходимо, чтобы:

.

Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение относительно частоты колебаний k. Среди корней этого уравнения могут оказаться вещественные корни и сопряженные комплексные. Первому случаю соответствует апериодическое движение:

.

Во втором случае и и движение системы описывается зависимостью:

,

где ;

l – число решений характеристического уравнения с вещественными корнями;

m – число решений с комплексными корнями.

Устойчивость колебаний системы с конечным числом степеней свободы

Так же, как и для системы с одной степенью свободы, консервативная система с конечным числом степеней свободы, будет устойчива, если в положении равновесия она имеет минимум потенциальной энергии. То есть, в соответствии с известной вам теоремой Лагранжа-Дирихле система устойчива, если любому приращению любой обобщенной координаты соответствует положительное приращение потенциальной энергии. Для определения этих условий был разработан критерий Сильвестра, который говорит, что потенциальная энергия системы с i степенями свободы будет иметь минимум в случае, если все i определителей, составленных из коэффициентов жесткости, имеют положительные значения:

Для системы с вязким трением также справедлив критерий Ляпунова, суть которого заключается в том, что вещественные части всех корней характеристического уравнения должны быть отрицательными.

Для анализа знаков вещественных частей корней характеристического уравнения разработан специальный критерий Раусса и Гурвица.

Пусть характеристическое уравнение какой-либо системы имеет вид:

.

Для того чтобы среди корней не было ни одного с положительной вещественной частью необходимо и достаточно, чтобы при и были больше нуля и все i определителей Гурвица, полученных из квадратной матрицы коэффициентов :

.

Эта матрица размерностью составляется следующим образом: по диагонали от левого верхнего до правого нижнего выписываются все коэффициенты от до . Каждая строка дополняется коэффициентами с большими индексами справа от диагонали и с меньшими – слева от диагонали. При этом строки с четными и нечетными индексами коэффициентов меняются. Кроме того, если индекс становится меньше нуля или превышает число степеней свободы системы i, то на его место вписывается ноль.

Определители Гурвица имеют вид:

В качестве примера исследования устойчивости колебаний системы с конечным числом степеней свободы рассмотрим задачу о дивергенции и флаттере¹ тонкой пластинки, находящейся в потоке газа или жидкости.

¹ сочетание самовозбуждающихся незатухающих изгибающих и крутящих колебаний крыла, других элементов конструкции самолёта, главным образом крыла в полёте, либо несущего винта вертолёта, возникающих при достижении некоторой скорости, зависящей от характеристик данного самолёта. Такие колебания способны разрушить самолёт.

Задача.

П ри решении задачи используем зависимости из аэродинамики:

и ,

где и – постоянные аэродинамические коэффициенты;

– плотность потока.

Для составления дифференциальных уравнений определим реакции в опорах пластинки:

В левой опоре: . В правой опоре: .

Считая колебания системы малыми, запишем уравнения равновесного состояния:

Раскрывая значения сил и пренебрегая величинами второго порядка малости ( в выражении силы X), получим:

где

Примем частное решение полученной системы в хорошо известном виде: и . Подстановка этого частного решения позволяет получить систему алгебраических уравнений:

или

,

откуда:

.

Решение этого биквадратного уравнения находится несложно:

.

Анализ этого уравнения показывает, что, если разность меньше нуля, то один из корней, соответствующий двум знакам «плюс», обязательно будет положительным и вещественным. Это, в соответствии с критерием Ляпунова, говорит о неустойчивости системы и апериодическом законе ее движения. Такая потеря устойчивого равновесия называется дивергенцией:

Если разность положительна и удовлетворяет неравенству , то корни характеристического уравнения будут комплексными:

Как видим, в этом случае два корня обязательно будут иметь положительную вещественную часть, и, следовательно, движение системы будет, в соответствии с критерием Ляпунова, неустойчивым. Но так как корни характеристического уравнения комплексные, то характер этого движения будет иметь вид расходящихся колебаний:

Такое движение системы называется флаттером.

В случае корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми и движение системы будет иметь характер устойчивых колебаний.

Раскрыв значения коэффициентов жесткости системы, можно определить значения скоростей начала дивергенции и флаттера:

Вынужденные колебания системы с конечным числом степеней свободы

В этом случае система дифференциальных уравнений будет следующей:

,

где – диагональная матрица внешних воздействий,

– внешняя сила, приложенная к j–ой массе системы.

Наиболее просто решается система дифференциальных неоднородных уравнений в случае, если все внешние силы изменяются по гармоническому закону с одинаковой частотой, но разными амплитудами:

,

где ,

– амплитуда вынуждающей силы;

p – частота вынуждающих сил.

При таком законе изменения вынуждающих сил система дифференциальных уравнений будет иметь вид:

,

где [H] – диагональная матрица амплитуд вынуждающих сил.

Решение этой системы уравнений для установившихся режимов колебаний можно записать также в гармонической форме:

.

Подставив это решение в исходную систему уравнений, получим:

или

.

Решение этой системы линейных алгебраических уравнений позволяет найти амплитуды вынужденных колебаний для каждой обобщенной координаты:

.

В записанном решении D – определитель, составленный из коэффициентов системы при неизвестных амплитудах:

а – определитель, который получается из определителя D путем замены j-ого столбца правыми частями системы:

и так далее.

Нетрудно заметить, что определитель D совпадает с частотным определителем, который мы составили при исследовании свободных колебаний системы. Поэтому, очевидно, в случае равенства частоты вынуждающих сил p одной из собственных частот системы определитель D будет обращаться в ноль и амплитуды вынужденных колебаний системы становятся равными бесконечности, то есть будет наступать резонанс:

Аналогичные зависимости будут иметь и амплитуды вынужденных колебаний других обобщенных координат.

Таким образом, число резонансных режимов для системы с конечным числом степеней свободы равно числу степеней свободы.

Теперь вновь внимательно посмотрим на выражение для определения амплитуд вынужденных колебаний системы. Очевидно, можно предположить, что при некоторых значениях частоты вынуждающей силы p будут обращаться в ноль определители . В этом случае амплитуда колебаний соответствующей обобщенной координаты также будет равна нулю, то есть эта координата будет неподвижна, хотя на нее воздействует возмущающая сила. Такое явление называется в теории колебаний механических систем антирезонансом.

Рассмотрим этот случай более подробно на примере системы с двумя степенями свободы:

Принимаем, что установившиеся колебания системы подчиняются также гармоническому закону:

В результате подстановки этих выражений в исходную систему получим:

Решая эту систему относительно амплитуд колебаний, получим:

Из первого выражения легко определяется значение вынуждающей частоты, при которой амплитуда колебаний первой обобщенной координаты равна нулю:

Из второго уравнения находим частоту, при которой амплитуда колебаний второй обобщенной координаты равна нулю:

Явление антирезонанса очень часто используется для гашения резонансных колебаний систем с одной степенью свободы. Пусть на некоторую массу воздействует синусоидальная возмущающая сила. Попробуем, используя явление антирезонанса, добиться того, чтобы амплитуда колебаний этой массы была равна нулю. Для этого подберем параметры и таким образом, чтобы удовлетворить условию нашей задачи. Поскольку на вторую массу не воздействует внешнее возмущение, то и