Шпаргалки по анализу биосигналов, страница 7
Описание файла
Документ из архива "Шпаргалки по анализу биосигналов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "анализ биосигналов" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "анализ биосигналов" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Шпаргалки по анализу биосигналов"
Текст 7 страницы из документа "Шпаргалки по анализу биосигналов"
Модуль Cn является четной функцией относительно n, а аргумент n - нечетной (это следует из Error: Reference source not found и Error: Reference source not found). Используя модуль и аргумент, ряд Error: Reference source not found может быть записан:
Отсюда нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда Error: Reference source not found пару слагаемых, соответствующих n (например, n=2) и учитывая что -2=-2,
а C-2=C2, получим для суммы:
Окончательно ряд Error: Reference source not found в тригонометрической форме записывается:
Смысл удвоения коэффициентов Фурье Cn в тригонометрическом ряде при n1 становится ясным, если представить себе сумму двух векторов равной длины и с противоположными аргументами (векторы вращаются с одинаковой скоростью n1, но в разные стороны для положительных и отрицательных частот), и вычислить проекцию этой суммы на ось абсцисс.
После перехода к тригонометрической форме понятие "отрицательных частот" теряет смысл.
Нередко встречается другая форма записи:
Сравнивая Error: Reference source not found и Error: Reference source not found между собой, можно увидеть, что амплитуда n-й гармоники An связана с коэффициентом Cn ряда (3.32):
An = 2Cn ; an= 2Cn cos ; bn = 2Cn sin
Таким образом, для всех положительных n, включая и n=0:
Если сигнал представляет собой четную относительно t функцию, т.е. s(t)= s(-t), то в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как
коэффициенты bn в соответствии с Error: Reference source not found обращаются в нуль.
Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты an и ряд состоит только из синусоидальных членов. Другими словами, четные функции имеют вещественный спектр, а нечетные - чисто мнимый.
Две характеристики - амплитудная и фазовая, то есть модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания.
Спектр периодической функции называют линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, 1, 21, 31 ... и так далее.
18. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЯДА ФУРЬЕ.
При разложении периодического сигнала s(t) в ряд Фурье в качестве ортогональной системы берут гармонические функции вида Error: Reference source not found:
1, cos 1t, sin 1t, cos 21t, sin 21t,...
..., cos n1t, sin n1t,... (3.22)
Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом T = 2/1 функции s(t).
Система функций Error: Reference source not found приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система Error: Reference source not found - к комплексной форме. Между этими формами существует простая связь.
Воспользуемся системой комплексных гармоник Error: Reference source not found, тогда ряд Фурье будет иметь вид:
Совокупность коэффициентов Cn ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала, а целью гармонического анализа как раз является нахождение коэффициентов ряда Фурье.
Коэффициенты ряда Error: Reference source not found легко определяются с помощью ранее встречавшихся формул - из формулы Error: Reference source not found следует, что квадрат нормы равен:
Таким образом, независимо от n, норма базисной функции .
Используя формулу для коэффициентов ряда Фурье Error: Reference source not found получим:
В Error: Reference source not found и Error: Reference source not found учтено, что для ejn1t комплексно-сопряженной является функция e-jn1t.
Коэффициенты Cn в общем случае являются комплексными величинами. Воспользуемся формулой Эйлера ejx = cos x j sin x,
Отсюда косинусная - действительная часть коэффициента Cn:
а мнимая - синусная часть:
Коэффициенты Сn часто бывает удобно записывать в форме:
Модуль Cn является четной функцией относительно n, а аргумент n - нечетной (это следует из Error: Reference source not found и Error: Reference source not found). Используя модуль и аргумент, ряд Error: Reference source not found может быть записан:
Отсюда нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда Error: Reference source not found пару слагаемых, соответствующих n (например, n=2) и учитывая что -2=-2,
а C-2=C2, получим для суммы:
Окончательно ряд Error: Reference source not found в тригонометрической форме записывается:
Смысл удвоения коэффициентов Фурье Cn в тригонометрическом ряде при n1 становится ясным, если представить себе сумму двух векторов равной длины и с противоположными аргументами (векторы вращаются с одинаковой скоростью n1, но в разные стороны для положительных и отрицательных частот), и вычислить проекцию этой суммы на ось абсцисс.
После перехода к тригонометрической форме понятие "отрицательных частот" теряет смысл.
Нередко встречается другая форма записи:
Сравнивая Error: Reference source not found и Error: Reference source not found между собой, можно увидеть, что амплитуда n-й гармоники An связана с коэффициентом Cn ряда (3.32):
An = 2Cn ; an= 2Cn cos ; bn = 2Cn sin
Таким образом, для всех положительных n, включая и n=0:
Если сигнал представляет собой четную относительно t функцию, т.е. s(t)= s(-t), то в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как
коэффициенты bn в соответствии с Error: Reference source not found обращаются в нуль.
Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты an и ряд состоит только из синусоидальных членов. Другими словами, четные функции имеют вещественный спектр, а нечетные - чисто мнимый.
Две характеристики - амплитудная и фазовая, то есть модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания.
Спектр периодической функции называют линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, 1, 21, 31 ... и так далее.
19. СПЕКТР ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ – МЕАНДРА.
Рис.3.12. Меандр с четной симметрией
Рис.3.2 Меандр с нечетной симметрией
Соответствующим выбором начала отсчета времени меандр можно представить в виде четной (Рис. 3.1) или нечетной (Рис. 3.2) функции.
Для нечетной функции применяя формулы Error: Reference source not found и Error: Reference source not found находим при s(t)=e(t):
Учитывая, что T1=2, получаем:
Начальные фазы n в соответствии с Error: Reference source not found, равны -2 для всех гармоник.
На Рис 3. 3показаны коэффициенты комплексного, а на Рис. 3.4 тригонометрического ряда Фурье для меандра единичной амплитуды (Е=1).
В тригонометрической форме ряд Фурье:
Рис.3.3. Комплексный ряд Фурье, E=1
Рис 3.4 Тригонометрический ряд Фурье, E=1
При отсчете времени от середины импульса, функция является четной относительно t и ряд для нее содержит только косинусные члены:
Для конечной суммы ряда, с увеличением числа суммируемых гармоник, сумма ряда приближается к функции e(t) всюду, кроме точек разрыва функции, где образуются выбросы. При n величина этого выброса равна 1.18Е, то есть сумма ряда отличается от заданной функции на 18%.
Этот дефект сходимости в математике получил название явления Гиббса в честь Дж. Уилларда Гиббса. Открытие этого эффекта не принадлежит Гиббсу, однако он первый «разрекламировал» этот эффект. Несмотря на то, что в рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции e(t) в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при n выбросы являются бесконечно узкими и не вносят никакого вклада в интеграл Error: Reference source not found.
На Рис. 3.5 представлено формирование меандра суммой 1-ой и 3-ей гармоник, а на Рис. 3.6.- сумма 1-ой, 3-ей и 5-ой гармоник.
Рис.3.5. Сумма 1ой и 3ей гармоник
Рис.3.6 Сумма 1,3 и 5ой гармоник
Вычисление интеграла:
20. СПЕКТР ПИЛООБРАЗНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ.
Рис. 3. 7Пилообразное колебание
Подобные сигналы наиболее часто используются в устройствах развертки изображения - в осциллографах, мониторах, телевизорах, широтно-импульсных модуляторах, аналого-цифровых преобразователях, и пр.
Получить такое колебание можно заряжая конденсатор источником стабильного тока, завершая период цепью сброса (разряда) на аналоговых ключах. Достаточно просто синтезировать пилообразное колебание при помощи ЦАП и двоичных счетчиков, обеспечивающих линейное нарастание цифрового кода. Иногда близкую форму получают с помощью RC-цепи, используя пологий участок экспоненциального процесса заряда емкости.