Шпаргалки по анализу биосигналов, страница 9

(3.49)

и называется спектральной плотностью, или спектральной характеристикой функ­ции s(t). В общем случае, когда пределы t₁ и t₂ не уточнены, спектральная плотность записывается в форме:

(3.50)

После подстановки Error: Reference source not found в Error: Reference source not found получаем:

(3.51)

Выражения Error: Reference source not found и Error: Reference source not found называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражение Error: Reference source not found отличается от Error: Reference source not found только отсутствием множителя 1/Т, следовательно, спектральная плотность S() обладает всеми основными свойствами коэффициентов C_n комплексного ряда Фурье.

Для комплексной функции спектральной плотности S(), по аналогии с Error: Reference source not found, Error: Reference source not found и Error: Reference source not found:

(3.52)

где (3.53)

Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражениями:

(3.54)

(3.55)

Первое из этих выражений можно рассматривать как амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а второе как фазо-частотную характеристику (ФЧХ) сплошного спектра
непериодического сигнала s(t).

Как и в случае ряда Фурье, модуль S() является четной, а () - нечетной функцией частоты  для вещественных s(t).

На основании формулы Error: Reference source not found нетрудно провести интегральное преобразование Error: Reference source not found к тригонометрической форме:

Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором - нечетной относительно .

Следовательно, второй интеграл равен нулю:

,

и окончательно:

(3.56)

Заметим, что для =0 выражение Error: Reference source not found переходит в следующее:

= площадь под s(t) (3.57)

Следовательно, для любого сигнала s(t) спектральная плотность S() на нулевой частоте равна "площади сигнала". Это свойство бывает полезным для быстрого выявления структуры спектра некоторых сигналов.

28. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СПЕКТРОМ ОДИНОЧНОГО ИМПУЛЬСА И ПЕРЕОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ.

Пусть задан (Рис. 3.16) импульс s₁(t) и ему соответствует спектральная плотность S₁().

Рис. 3.16 Одиночный импульс

Р ис.3.17. Спектральная плотность

На Рис. 3.17 изображен модуль сплошного спектра S₁() в виде функции, четной относительно .

При повторении импульсов с периодом Т получается последовательность, представленная наРис. 3.18. Линейча­тый (дискретный) спектр этой последовательности изображен на . Для периода Т интервал между соседними гармониками дискретного спектра равен 2/Т.

Рис. 3.18 Повторение импульсов

Рис. 3.19. Дискретный спектр

Для n-й гармоники, в соответствии с Error: Reference source not found:

где ₁=2/T, t₁=0, t₂=_и . Спектральная плотность одиночного импульса на той же частоте =n₁ равна:

Как ранее отмечалось, спектральная плотность S₁(=n₁) отличается от коэф­фициента C_n ряда Фурье периодической последовательности только отсутствием множителя 1/Т. Следовательно, имеет место простое соотношение:

(3.58)

Соответственно, комплексная амплитуда n-й гармоники:

Модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линей­чатого спектра периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.

С увеличением Т спектральные линии сближаются и коэффициенты C_n уменьшаются, но так, что отношение |C_n|/f₁ остается неизменным. В пределе, при T, приходим к одиночному импульсу со спектральной плотностью:

Из этого выражения становится ясен смысл "спектральной плотности": S() есть амплитуда напряжения (тока), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту .

29. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ, ОПЕРАЦИИ НАД СПЕКТРАМИ.

Между сигналом s(t) и его спектром S() существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра.

3.3.1Линейность преобразования Фурье. Сложение сигналов

Так как преобразование Фурье, опреде­ля-ющее спектральную плотность задан­ного
сигнала, является линей­ным, то очевидно, что при сложении сигналов s₁(t), s₂(t), s₃(t).., обладающих спектрами S₁(), S₂(), S₃().., суммарному сигналу:

соответствует сумма спектров:

Для взвешенной суммы сигналов (или спектров) выполняется принцип суперпозиции:

здесь a_n - произвольные коэффициенты.

Для доказательства теоремы следует подставить сумму сигналов в преобразование Фурье Error: Reference source not found.

3.3.2.Свойства действительной и мнимой части спектральной плотности вещественных сигналов

Пусть s(t) - сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность S() в общем случае является комплексной:

Подставим это выражение в обратное преобразование Фурье:

Для того, чтобы результат s(t) оказался вещественным, необходимо чтобы одновременно выполнялись условия:

Поскольку интеграл от нечетных функций в симметричных пределах всегда равен нулю, то выполнение условий возможно лишь тогда, когда вещественная часть спектральной плотности A() является четной, а мнимая часть B() - нечетной функцией частоты, т.е.:

A() = A(-) B() = -B()

30. СДВИГ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕНИ. ТЕОРЕМА ЗАПАЗДЫВАНИЯ.

Пусть сигнал s₁(t) произвольной формы существует на интервале времени от t₁ до t₂ и обладает спектральной плотностью S₁(). При задержке этого сигнала на время t₀ (при сохранении его формы) получим новую функцию времени:

s₂(t) = s₁(t-t₀)

Новый сигнал s₂(t) существует на интервале от t₁+t₀ до t₂+t₀. Спектральная плотность S₂(), в соответствии с Error: Reference source not found,

Производя замену переменных интегрирования  = t-t₀, получим:

(3.59)

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции s(t) на t₀ приводит к изменению фазовой характеристики спектра S() на величину t₀.

Очевидно и обратное положение: если всем составляющим спектра функции s(t) дать фазовый сдвиг () = t₀, линейно связанный с частотой , то функция сдви­га­ется во времени на t₀. Модуль комплексного числа e^jto при любых t₀ равен единице, поэтому амплитуды гармонических составляющих сигнала не зависят от его положения во времени. Таким образом, амплитудно-частотная характеристика спектра (то есть модуль спектральной плотности) не зависит от положения сигнала на оси времени.

31. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СИГНАЛА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ (АРГУМЕНТА).

Пусть сигнал s₂(t) получен (Рис. 3.20) путем изменения масштаба времени s₁(t): s₂(t) = s₁(nt)

Рис. 3.20 Изменение масштаба времени

Если n>1, то происходит "сжатие" сигнала (когда 0<n<1, то сигнал "растя­ги­вается" во времени).

Длительность сигнала s₂(t) в n раз мень­ше исходного и равна _u/n. Спектральная плотность сжатого импуль­са:

Вводя новую переменную интегрирования  = nt, получаем:

Замечая, что правая часть равенства есть ни что иное, как спектральная плотность исходного сигнала s₁(t) при частоте /n, то есть S₁(/n), получим:

Итак, при сжатии по временной оси сигнала в n раз, модуль спектральной плотности уменьшается во столько же раз, и в n раз увеличивается ширина спектра на оси частот. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т.е. при n<1) имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

Рис 3.21. Зеркальное отражение сигнала

К этой теореме близка следующая задача. Пусть дан импульс s(t), отличный от нуля на отрезке [0,_и] со спектральной плотностью S().

Требуется найти спектральную плотность "обращенного" во времени сигнала s_обр(t), который представляет собой "зеркальную копию" исходного (см. Рис. 3.21.).

Поскольку очевидно, что s_обр(t) = s(-t), то, делая замену x=-t получаем:

32. ТЕОРЕМА О СМЕЩЕНИИ СПЕКТРА СИГНАЛА.

Применим преобразование Фурье Error: Reference source not found к произведению s(t)cos(₀t+₀):

Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции s(t) при частоте -₀, а второй интеграл - при частоте +₀.

Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме:

(3.60)

где S()- спектральная плотность сигнала s(t).

Из полученного выражения Error: Reference source not found вытекает, что расщепление спектра S() на две части, смещенные соответственно на ₀, эквивалентно умножению функции s(t) на гармоническое колебание cos(₀t) (при ₀=0). Более подробно это положение рассматривается при изучении модулированных колебаний.

33. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ СИГНАЛА.

Дифференцирование сложного сигнала s₁(t) можно трактовать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Но производная от e^jt равна je^jt, из чего непосредственно вытекают следующие соответствия: s₁(t) S₁()

(3.61)

К этому результату можно прийти также из общего преобразования Фурье:

Первое слагаемое обращается в нуль, поскольку для t  s₁(t)0 (условие интегрируемости сигнала).

Итак, дифференцирование сигнала во времени эквивалентно простой алгебраи­ческой операции умножения спектральной плотности на множитель j. Поэто­му принято говорить, что мнимое число j является оператором дифференци­ро­вания, действующим в частотной области.