Шпаргалки по анализу биосигналов, страница 10

При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала. В области низких частот (<1) спектральная плотность сигнала при дифференцировании уменьшается.

Аналогичным образом можно показать, что сигналу: соответствует спектральная плотность: (3.62)

Следует отметить, что в отличие от операции дифференцирования, операция интегрирования законна только для сигналов, отвечающих условию S(0)=0, т.е. для сигналов c нулевой площадью :

Теорема дифференцирования и интегрирования сигналов оказывается полезной в задачах исследования частотных характеристик линейных измерительных преобразователей. В этом случае, теоретически, подавая на вход бесконечно короткий δ-импульс, следует регистрировать отклик устройства – т.е. его импульсную функцию h(t). Прямое преобразование Фурье для импульсной функции по определению является передаточной характеристикой устройства. Однако далеко не во всех случаях можно предложить достойную практическую замену обобщенному идеализированному испытательному сигналу. Здесь способна помочь переходная функция и теорема о преобразовании спектров при дифференцировании. Для целей испытаний часто более пригодна в качестве входного тестового сигнала линейно масштабированная функция Хевисайда 1(t), которая является интегралом от δ-функции. Измеряя отклик устройства на входное ступенчатое воздействие (т.е. переходную функцию g(t) устройства), ограниченный разумными длительностями наблюдения, переходя затем в частотную область при помощи прямого преобразования Фурье и применяя теорему о дифференцировании сигнала возможно получить практически пригодную оценку частотных свойств устройства.

Следует отметить, что, как и обычно, при дифференцировании сигналов, осложненных широкополосными шумами, устойчивость оценок снижается с ростом частоты так как в большинстве случаев спектральная плотность мощности сигнала уменьшается с ростом частоты, а шум обычно имеет некоторый постоянный уровень.

34. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ СИГНАЛОВ.

Пусть s(t) = f(t) g(t). Используя общую формулу Error: Reference source not found, определим спектр сигнала s(t):

(3.63)

Каждую функцию f(t) и g(t) можно представить интегралом Фурье:

Подставляя в Error: Reference source not found второй из этих интегралов, получаем:

Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной t, представляет собой спектральную плотность F(-x) функции f(t) при частоте -x.

Следовательно:

(3.64)

Отсюда: спектр произведения двух функций f(t) и g(t) равен (с коэффициентом 1/2) свертке их спектров F() и G(). Из последних выражений в частном случае при =0, вытекает следующее равенство:

Заменяя в последнем выражении x на , получаем:

(3.65)

где F^*() = F(-) - комплексно-сопря­жен­ная спектральная функция.

Выражение Error: Reference source not found представляет собой обобщенную формулу Рэлея, называемую в математике также равенством Парсеваля или теоремой Планшереля.

Легко запоминается смысл этой формулы: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

Аналогич­но можно показать, что произведению двух спектров F()G() соответствует функция s(t), являющаяся сверткой функций f(t) и g(t):

(3.66)

Последнее выражение особенно широко используется при анализе передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции f(t) и g(t) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной характеристики цепи, а F() и G() - спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.

35. СПЕКТРАЛЬНЯ ПЛОТНОСТЬ СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ ИНТЕГРАТОРА.

В различных устройствах находят применение так называемые интеграторы, выходной сигнал которых пропорционален интегралу от входного воздействия. Рассмотрим интегратор, функционирующий по закону:

Здесь T>0 – “фиксированное окно” интегрирования. Определенный интеграл равен, очевидно, разности двух значений первообразной сигнала s_вх(t), одно из которых вычисляется при аргументе t, а другое – при t-T.

Тогда, используя теоремы об интегрировании сигнала и о запаздывании, получим:

Сомножитель в скобках ограничен при любых частотах, в то же время модуль знаменателя неограниченно растет с ростом частоты. Это свидетельствует о том, что рассмотренный интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляющие сигнала.

36. ВЗАИМНАЯ ЗАМЕНЯЕМОСТЬ ЧАСТОТЫ И ВРЕМЕНИ В ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФУРЬЕ.

Преобразование Фурье обратимо с точностью до знака аргумента. Нетрудно видеть, что формулы прямого и обратного преобразования Фурье очень похожи друг на друга, особенно когда они записаны для аргумента не круговой, а циклической частоты f=/2:

Производя в этих формулах замену переменных f'=t и t'=f, получим, что если s(t)  S(f), то

S(t)  s(-f) и S(-t)  s(f).

Для четно-симметричных функций, для которых s(-t) = s(t), преобразование Фурье будет четно-симметричным, то есть S(-f) = S(f). Следовательно, для таких функций преобразование Фурье полностью обратимо.

Рис. 3.23Прямоугольный импульс П(t,T_и)

Рис.3.24 Спектральная плотность AП(t,T_и)

Например, преобразование Фурье прямоугольного импульса представляет собой функцию sinc(f/T_и), а преобразование Фурье импульса вида sinc(f_иt) имеет вид прямоугольного импульса в частотной области.

Рис. 3.25. Импульс вида sinc(f_иt) во временной области

Р ис. 3. 26. Спектральная плотность импульса вида sinc(f_иt)

37. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ НЕПЕРЕОДИЧЕСКИХ МБС.

Для получения выражения, аналогич­ного Error: Reference source not found, можно идти двумя путями:

-исходя из Error: Reference source not found совершить предельный переход при T;

-воспользоваться теоремой о произведении сигналов и равенством Error: Reference source not found.

Пусть f(t)=g(t)=s(t). Тогда интеграл

(3.67)

представляет собой полную энергию сигнала s(t).

Кроме того, произведение спектральных плотностей G() и F^*() приводится к виду:

где - спектр сигнала s(t), а S() - модуль этого спектра.

Таким образом, в соот­ветствии с Error: Reference source not found окончательный резуль­тат:

(3.68)

Это важное соотношение устанавливает связь между энергией сигнала и модулем его спектральной плотности и называется равенством Парсеваля.

Между Error: Reference source not found и Error: Reference source not found имеется существенное различие. Ранее речь шла о средней мощности периодического колебания. Операция усреднения осуществлялась делением энергии отрезка колебания за один период на величину Т. Для непериодического колебания конечной длительности усреднение энергии за бесконечно большой период дает ноль и, следовательно, средняя мощность такого колебания равна нулю.

Отметим, что энергия непериодического сигнала не зависит от началь­ных фаз спектральных составляющих.

Это является, как и для периодического сигнала, результатом ортогональности спектральных составляющих. Различие заключается лишь в интервалах ортогональности: период Т для периодического сигнала и бесконечно большой интервал для непериодического сигнала. Из выражения Error: Reference source not found видно, что величину , имеющую смысл энергии, приходящейся на 1 Гц, можно рассматривать как спектральную плотность энергии сигнала.

38. СПЕКТР ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА.

(3.69)

Рис.3.27. Прямоугольный импульс

Рис. 3.28. Спектральная плотность

Применяя формулу Error: Reference source not found, находим спектральную плотность:

(3.70)

Заметим, что произведение A_u равно площади импульса и определяет значение спектральной плотности для =0, т.е. . Отсюда Error: Reference source not found по-другому:

(3.71)

Здесь через sinc(_u/2) обозначена функция sin(x)/x, причем известно, что

(3.72)

При расширении импульса П(t,_u) по времени расстояние между нулями функции S₁() сокращается, что равносильно сужению спектра.

Значение S₁(0) при этом возрастает. При уменьшении длительности импульса спектр расширяется, а его амплитуда (масштаб) S₁(0) уменьшается.

В пределе, при _u0 (и при A=const) точки ₁=2/_и, соответствующие двум первым нулям функции , удаляются в бесконечность, а спектральная плотность, беско­нечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот [-; ].

Покажем на рисунках отдельно модуль S₁(), отнесенный к величине S₁(0) (Рис.), и аргумент () (Рис. 3.29) спектральной плотности импульса для _и=1. Первый график можно рассматривать как АЧХ, второй - как ФЧХ спектра прямоугольного импульса.