Шпаргалки по анализу биосигналов (1044904), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

²_min(u,v) = U²T(1/2-4²)  0.095U²T,

_min(u,v)  0.308UT.

То, что в точке экстремума действительно достигается минимум, вытекает из положительности второй производной исследуемой функции.

Заметим, что энергия синусоидального импульса:

а его норма u 0.707UT.

Итак, при выбранной метрике минимально достижимое расстояние между рас­сма­три­ваемыми сигналами составляет 44% от нормы синусоидального импульса.

12. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ СИГНАЛОВ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИГНАЛЫ.

Скалярное произведение сигналов. Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора А и B, то квадрат модуля их суммы

, (2.10)

где - скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла  между ними.

Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов u и v:

(2.11)

В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны - энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию:

Сравнивая между собой формулы Error: Reference source not found и Error: Reference source not found, определим скалярное произ­ведение
вещественных сигналов u и v:

(2.12)

а также косинус угла между ними:

. (2.13)

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. (u, u)  0; (2.14)

2. (u, v) = (v, u);

3. (u, v) = (u, v), где  - вещественное число;

4. (u+v, w) = (u,w) + (v, w).

Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством H.

Давид Гильберт (1862-1943) - известный немецкий математик.

Справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского

. (2.15)

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение по формуле:

, (2.16)

такое, что

Пример 2. Имеются два смещенных во времени экспоненциальных импульса напряжения:

,

Найти скалярное произведение данных сигналов, а также угол  между ними.

Энергии этих двух сигналов одинаковы:

.

Скалярное произведение

Отсюда cos()=0.819 и =35

Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье. Два сигнала u и v называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

(2.17)

Пусть H - гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени
[t₁, t₂], конечном или бесконечном.
Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система ортогональных друг другу функций {u₀, u₁, u₂, ..., u_n, ...}, которые обладают единичными нормами:

(2.18)

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал s(t)H в ряд:

(2.19)

Представление Error: Reference source not found называется обобщенным рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию u_k с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства Error: Reference source not found и затем проинтегрируем результаты по времени:

(2.20)

Ввиду ортонормированности базиса в правой части (1.28) останется только член суммы
с номером i=k, поэтому

(2.21)

На геометрическом языке интерпретация формулы Error: Reference source not found такова: коэффициент обобщенного ряда Фурье есть проекция вектора на базисное направление.

Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является фактом большого принципиального значения. Вместо того чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы в счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье c_k.

Напомним, что гильбертово пространство сигналов, по определению, обладает важным свойством полноты:

- если предельное значение суммы

существует, то этот предел сам является некоторым элементом гильбертова пространства.

В полном функциональном пространстве норма ошибки аппроксимации монотонно убывает с ростом N - числом учитываемых членов ряда. Выбирая N достаточно большим, всегда можно снизить норму ошибки до любой приемлемо малой величины.

13. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МБС В ВИДЕ СУММЫ ЭЛЕМЕТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ.

Гармонический анализ представляет собой процесс расчета значений амплитуд и фаз основной частоты и гармоник более высокого порядка периодической кривой. Результирующий ряд известен как ряд Фурье и представляет собой соотношение между функцией во временной области и соответствующей функции в области частот.

С помощью обобщенного ряда Фурье можно показать пригодность различного класса функций, по которым возможно разложение сигналов.

Бесконечная система действительных функций

₀(x), ₁(x), ₂(x)..., _n(x)... (3.1)

называется ортогональной на отрезке [a; b], если:

при n  m (3.2)

При этом предполагается, что никакая из функций _n(x) не равна тождественно нулю, т.е.:

(3.3)

Условие (3.2) выражает попарную орто­гональность функций системы Error: Reference source not found.

Величину (3.4)

называют нормой функции _n(x).

Функция _n(x), для которой выполняется условие

(3.5)

называется нормированной функцией, а система нормированных функций Error: Reference source not found, в которой каждые две различные функции взаимно ортогональны, называется ортонормированной системой. Известно, что если функции {_n(x)} непрерывны, то произвольная кусочно-непрерывная функция f(x), для которой выполняется условие:

(3.6)

то есть f(x) - ограниченная, абсолютно интегрируемая функция, может быть представлена в виде суммы ряда:

f(x) = C₀₀(x)+C₁₁(x)+C₂₂(x)+...+C_n_n(x)...(3.7)

Коэффициенты С_n суммы Error: Reference source not found можно определить, если умножить обе части Error: Reference source not found на _n(x) и проинтегрировать в обла­с­ти ортогональности функций _n(x) [a; b]. Все слагаемые вида

при n  m

обращаются в нуль в силу ортогональности функций _n(x) и _m(x), а в правой части остается одно слагаемое:

отсюда: , или, по другому:

(3.8)

Ряд Error: Reference source not found, в котором коэффициенты С_n определены по формуле Error: Reference source not found, называется обобщенным рядом Фурье по данной системе {_n(x)}.

14. ПОГРЕШНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ СИГНАЛОВ ОБОБЩЕННЫМИ РЯДАМИ ФУРЬЕ ПРИ КОН. ЧИСЛЕ ЧЛЕНОВ РЯДА.

Совокупность коэффициентов С_n называется спектром сигнала f(x) в ортогональной системе {_n(x)} и полностью определяет этот сигнал. Обобщенный ряд Фурье обладает важным свойством: при заданной системе функций {_n(x)} и конечном числе N членов суммы ряда Error: Reference source not found он обеспечивает наилучшую аппроксимацию (в смысле минимума средне­квадратической ошибки) заданной функции f(x). Это значит, что среднеквадратическая ошибка достигает минимума, когда коэффициенты ряда Error: Reference source not found вычислены по формуле Error: Reference source not found, то есть явля­ются коэффициентами ряда Фурье. Среднеквадратическая ошибка имеет
следующий вид:

(3.9)

Действительно, подставляя d_n = с_n + e_n и
использовав равенства Error: Reference source not found и Error: Reference source not found, получим:

Отсюда следует, что ошибка М достигает минимума при e_n = 0, то есть при d_n = с_n. Тогда ошибка для конечного числа членов ряда Error: Reference source not found принимает вид:

(3.10)

З амечая, что первая часть разности Error: Reference source not found есть квадрат нормы функции f(x), а min(М) неотрицателен, на основании равенства Error: Reference source not found можно записать:

(3.11)

Это основное неравенство, называемое неравенством Бесселя, справедливо для любой ортогональной системы и является весьма эффективным при оценке приближения по мере постепенного увеличе­ния числа членов ряда Фурье.

Ортогональная система называется полной, если увеличением числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку М можно сделать сколь угодно малой. Условие полноты системы можно выразить следующим образом:

(3.12)

При выполнении Error: Reference source not found считают, что ряд Error: Reference source not found сходится в среднем, то есть:

(3.13)

Из этого, однако, еще не следует, что сходится к f(x) при любых значениях x, то есть что:

В отдельных точ­ках на оси Х ряд Error: Reference source not found может отличаться от f(x), хотя равенство Error: Reference source not found имеет место (когда f(x) терпит разрыв 1^го рода в конечном числе точек х_0n). В част­ности­, если функция (x) имеет разрывы так, что в некоторой точке x₀: f(x₀ - 0)  f(x₀ + 0),

Характеристики

Список файлов учебной работы