Шпаргалки по анализу биосигналов (1044904), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Используя стробирующее свойство -функции, находим:

(3.94)

При t₀=0, S(=0)=1.

Необходимо понимать, что правая часть равенства S()=1 является размерной единицей: это площадь импульса, численно равная единице. Если под (t) подразумевается импульс напряжения, то размерность S() есть [Вольт x Секунда].

Энергия -импульса бесконечно велика. При спектральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля (3.68), правая часть которого при S()=1 обращается в бесконечность. При временном рассмотрении это следует из того, что энергия импульса пропорциональна квадрату его ампли­туды (т.е. величине [¹/_и]²) и первой степени длительности _u, поэтому с укороче­нием импульса растет как 1/_u и при _u0 энергия импульса бесконечно велика.

Рассмотрим теперь свойства (). Все, что ранее было сказано относительно (t), можно распространить на (), при замене t на  и  на t.

Используя свойство взаимной заменяемости и упрощения для симметричных функций, можно записать:

(3.95)

(в данном случае перемена знака не влияет на значение интеграла).

Соответственно:

(3.96)

Замечание: понятие единичного импульса особенно широко используется при исследовании действия коротких импульсов на линейные цепи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была бесконечно велика, а длительность бесконечно мала. Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравнению с постоянной времени исследуемой цепи.

44. СПЕКТРЫ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.

Условие абсолютной интегрируемости
существенно ограничивает класс сигналов, для которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функциями. Например, такие важные для теории цепей и сигналов функции, как гармоническое колебание, заданное на бесконечности или включаемое в некоторый момент времени, единичный скачок, и некоторые другие функции не отвечают условию абсолютной интегрируемости. Рассмотренные свойства дельта-функции позволяют устранить это препятствие.

Рассмотрим гармонический сигнал s(t)=A_ocos(_ot+_o), который не является абсолютно интегрируемым. Запишем выражение для спектральной плотности:

На основании формулы Error: Reference source not found получим:

(3.97)

Эта функция равна нулю для всех частот, кроме =₀ и =-₀, при которых S() обращается в бесконечность. Как и следовало ожидать, гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность при дискретных частотах ₀ и -₀. В частности, приравнивая ₀ нулю, получаем спектральную плотность постоянного сигнала A₀:

S() = A_o2() (3.98)

Распространив Error: Reference source not found на все гармоники любого периодического сигнала можно ввести понятие спектральной плотности периодического сигнала в виде суммы дельта-функций:

Такой подход оказывается полезным при рассмотрении смеси импульсного и гармонического сигналов.

45. ТЕКУЩИЙ СПЕКТР. ТРЕБОВАНИЯ К ДЛИТЕЛЬНОСТИ МБС. ТЕКУЩИЙ СПЕКТР МОЩНОСТИ.

При выполнении преобразования Фурье, в соответствии с (3.50), необходимо проводить интегрирование в бесконеч­ных пределах по времени. Сделать это в общем случае невозможно, т.к. для такого интегрирования нужно располагать информацией о сигнале s(t), начиная с бесконечно давних времен и кончая бесконечно далеким будущим. В принципе, можно предположить, что нам известен сигнал s(t) с давних времен t=- до некоторого текущего момента времени T.

Тогда формула для спектра примет вид:

Однако на практике мы обычно имеем описание сигнала начиная только с некоторого момента времени, который можно принять за нулевой (t=0), и завершая текущим моментом (t=T). Тогда:

Спектр, определенный по этой формуле, называется текущим спектром. Этот спектр может определяться в реальном времени, нет необходимости ожидать завершения процесса, в результате которого формируется сигнал s(t).

В общем случае, текущий спектр - это функция двух аргументов: частоты  и времени T.

Обратное преобразование Фурье, примененное к текущему спектру, воспроизводит функцию s_T(t), равную сигналу s(t) на промежутке от t=0 до t=T и равную нулю за пределами этого промежутка:

Функция s_T(t) может быть представлена в виде произведения сигнала s(t) и прямоугольного импульса:

поэтому спектр S_T() представляет собой свертку спектра сигнала s(t) и спектра прямоугольного импульса:

Подставляя сюда выражение спект­раль­ной плотности прямоугольного импульса, и учитывая его временной сдвиг, получим:

Этот результат показывает, почему реальные оценки спектров обладают пониженной разрешающей способностью, часто не позволяя различать близкие по частоте пики спектральной плотности сигнала. Также видна связь между длительностью наблюдения сигнала и разрешением спектрального анализа.

Рассмотрим, какова должна быть длительность сигнала для того, чтобы его текущий спектр S_T() мало отличался от спектра S(), соответствующего бесконеч­ному времени
наблюдения. Сначала определим, что значит "мало отличался". При реализации свертки двух спектров (по последней формуле) нужно перемножить S(') и S_(-') а затем интегрировать это произведение. Очевидно, что спектры S_T() и S() совпадали бы друг с другом, если бы спектр S_() имел бы вид -импульса в частотной области. Поскольку этого нет, то при переходе от S() к S_T() (т.е. в процессе свертки) происходит определенное сглаживание спектра S().

Пусть, предположим, для нас существенны пульсации кривой спектра S(), наименьший период которых равен .

Отсюда следует, что спектр S_T() не должен заметно отличаться по этим пульсациям от спектра S(). А это возможно только при условии, что ширина спектра прямоугольного импульса будет много меньше интервала .

Будем эту ширину условно определять по основному лепестку спектра, тогда она окажется равной 4/T. Соответственно этому, сформулированное выше условие запишется так:

4/T << 

Таким образом, длительность реализации некоторого процесса, по которой мы определяем его спектр, должна быть намного больше удвоенного периода наивысшей, подлежащей выявлению гармоники этого спектра:

T >> 2/f f = /2

Энергетический спектр сигнала, размерность которого содержит квадрат амплитуды сигнала, был определен теоремой Парсеваля Error: Reference source not found, из которой в частности следует, что для определения энергии сигнала можно интегрировать квадрат модуля спектральной плотности по всему диапазону частот.

Если нам известно, что сигнал s(t) был отличен от нуля только на некотором промежутке времени T, то тогда для средней мощности сигнала P можно записать:

Отсюда следует, что функция |S()|²/T - это спектральная плотность средней мощности сигнала, или кратко, спектр мощности, который обозначим как R().

Хотя R() - это спектр мощности, а не энергии, тем не менее, его часто называют энергетическим спектром.

Вполне понятно, что спектр мощности можно использовать и для того, чтобы показать, как распределяется средняя мощность части процесса. Пусть -T/2 и +T/2 - границы рассматриваемого процесса во времени, тогда:

где

46. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА И ШИРИНОЙ ЕГО СПЕКТРА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛОСА х ДЛИТЕЛЬНОСТЬ.

Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Для количественной оценки параметров сигнала введем понятие длительности сигнала и ширины его спектра. В практике применяют различные определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, структуры спектра или является произвольным. Так, ширину спектра прямоугольного сигнала определяют либо как основание главного лепестка, либо на уровне от максимального значения его спектральной плотности.

Длительность колоколообразного импульса и ширину его спектра определяют на уровне от максимального значения. Часто пользуются энергетическим критерием, понимая под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю полной энергии сигнала.

Для практики большое значение имеет оценка протяженности "хвостов" спектра вне полосы частот, содержащей основную часть энергии сигнала.

Определение произведения Полоса x Длительность

Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину его спектра, в современной теории сигналов большое распространение получил метод моментов.

Аналогично моменту инерции в механике, эффективную длительность сигнала T_эф можно определить:

где середина импульса t₀ определяется из следующего условия:

Имеется в виду, что функция s(t) интегрируема с квадратом, то есть сигнал обладает конечной энергией.

Аналогично, эффективная ширина спектра определяется выражением:

Характеристики

Список файлов учебной работы