Шпаргалки по анализу биосигналов (1044904), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

(продолжение на след. странице)

Рис.3.29 Модуль спектра

Рис.3.30. Фазовая характеристика

Каждая перемена знака S₁() учитывает­ся на ФЧХ приращением фазы на .

При отсчете времени не от середины импульса, а от его фронта, ФЧХ спектра должна быть дополнена слагаемым _u/2, которое учитывает сдвиг фаз на время _u/2 в сторону запаздывания.

39. СПЕКТР ТРЕУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА.

Треугольный импульс в виде четной функции s₂(t) определим как:

(3.73)

Рис. 3.31Треугольный импульс

Прямое вычисление спектра по формуле Error: Reference source not found хотя и не сложно, но все же несколько громоздко. Для иллюстрации применения теорем о спектрах, приведенных ранее, найдем сначала спектраль­ную плотность для функции, явля­ющейся производной от заданного сигнала s₂(t):

Р ис. 3.32. Производная сигнала

Спектральная плотность положительного прямоугольного импульса c длительностью _u/2 и амплитудой 2A/_и, по аналогии с формулой Error: Reference source not found и с учетом сдвига середины импульса на время _u/4 отно­сительно t=0:

Спектральная плотность отрицательного импульса, соответственно:

Суммарная спектральная плотность двух импульсов:

(3.74)Спектральная плотность треугольного импульса, являющегося интегралом от функции s'₂(t) получается делением преды­дущего выражения на j по Error: Reference source not found:

(3.75)

Амплитуда A_и/2=S₂(0) является площадью прямоугольного импульса.

Р ис. 3.33 АЧХ треугольного импульса

Полезно отметить, что уровень боковых лепестков спектра треугольного импульса убывает пропорционально 1/², а не 1/, как это было для прямоугольного импульса.

Большая скорость убывания спектра объясняется отсутствием разрывов в рассматриваемой функции.

Аналогичная картина была отмечена при рассмотрении линейчатого спектра периодической последовательности треугольных импульсов. Обобщение этого вопро­са основывается на использовании аппарата дельта-функций.

40. СПЕКТР ГАУССОВСКОГО (КОЛОКОЛООБРАЗНОГО) ИМПУЛЬСА.

Представленный на Рис. 3.34. импульс определяется выражением: (3.76)

Рис. 3.34. Гауссовский импульс

Этот импульс по форме совпадает с графиком нормального (гауссовского) закона распределение вероятностей.

П остоянная a имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне e^-1/2 от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса равна 2a.

Подставляя Error: Reference source not found, получим: (3.77)

Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы:

где величина d определяется из условия:

, откуда (3.78)

Т аким образом, выражение (3.77) можно привести к виду:

Переходя к новой переменной , получаем:

Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен , окончательно получим:

(3.79)

где .

Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гаусcовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симмет­рии: для получения одной из них по задан­ной другой достаточно заменить t на  или наоборот. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне e^-1/2 от максимального значения равна:

Гауссовскому спектру: (3.80)

соответствует Гауссовский импульс:

(3.81)

c длительностью 2/b и амплитудой .

Очевидно, что чем меньше дли­тель­ность импульса _u, тем шире спектральная полоса 2b.

41. СПЕКТР ИМПУЛЬСА ВИДА sinc(t).

Этот сигнал определяется выражением:

(3.82)

Вместо вычисления спектральной плот­ности воспользуемся свойством взаимо­заменя­е­мости  и t в преобразованиях Фурье для четных функций времени.

Р ис.3.35. Прямоугольный импульс П(t,_и)

Рис. 3.36. Спектральная плотность П(t,_и)

Очевидно, что после замены  на t и t на , заданной функции s₄(t) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Останется лишь найти площадь этого спектра и его уровень.

Рис. 3.37. Импульс вида sinc(_mt)

Рис. 3.7 Спектр импульса вида sinc(_mt)

Уровень спектра, равномерный в полосе ||_m, проще всего определить по его значению в точке =0, для которой значение S₄(0) равно площади импульса:

3.83

Очевидно (см.Рис. 3.29.), при замене t на  (или наоборот) в данном примере надо сопоставить абсциссу _и=/_m с аналогичной абсциссой _m=2/_и, т.е. _u соответствует 2_m, откуда следует, что 2_m и есть искомая ширина спектра S₄().

Итак, окончательно,

3.84

42. СПЕКТР ГРУППЫ ОДИНАКОВЫХ РАВНООТСТОЯЩИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ.

Р ис. 3.39. Группа равноотстоящих импульсов

Спектральную плотность первого импульса в пачке обозначим . Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого на время Т в сторону запаздывания, спектральную плотность (на основании (3.59)) можно предста­вить выражением:

для третьего импульса:

и так далее.

Для группы из N импульсов, в соответствии с принципом линейного суммирования спектров, при сложении сигналов спектральная плотность:

(3.85)

На частотах =2k/T, где k -целое число, каждое из слагаемых равно единице и, следовательно,

(3.86)

- для четных k равно единице.

Таким образом, при частотах =k2/T модуль спектральной плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектраль­ные составляющие различных импульсов с указанными выше частотами складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2.

При частотах же , а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов e^-jkT обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю.

При промежуточных значениях частоты спектр S() определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов.

В качестве примера (Рис. 3.40.) изобразим модуль спектра пачки из трех прямоугольных импульсов при интервале между соседними импульсами T=3_u.

Рис.3.40. Спектр группы импульсов

Штриховыми линиями показан спектр одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке, спектральная плотность все более расщепляется, и в пределе, при N принимает линей­чатую структуру спектра периодической функции.

Примечание: спектральная плотность сигнала является результатом интерференции спектров одиночных импульсов.

43. БЕСКОНЕЧНО КОРОТКИЙ ИМПУЛЬС С ЕДИНИЧНОЙ ПЛОЩАДЬЮ.

При стремлении длительностей прямоугольного, гауссовского и импульса вида sinc к нулю, потребуем сохранения единичной площади. Для этого амплитуды импульсов следует выбрать обратно пропорциональными соответствующим образом определенной длительности, при этом амплитуды всех импульсов обратятся в бесконеч­ность.

-амплитуду прямоугольного импульса следует приравнять 1/x₁, где x₁ -длительность импульса;

Рис. 3.41. Прямоугольный импульс

-для гауссовского импульса амплитуда должна быть приравнена , так как

Рис. 3.42. Гауссовский импульс Рис.3.43. Импульс вида

sinc(x)

-для , площадь которого равна единице, амплитуда равна 2f_m (при x=0). Длительность импульса (главного лепестка) обратно пропорциональна параметру f_m.

При стремлении параметров x₁ и a к нулю, а f_m - к бесконечности, все три изображенные на рисунке функции можно определить следующим образом: (3.87)

при одновременном условии единичной площади:

(3.88)

Функция (х), обладающая указанными свойствами, называется дельта-функ­ци­ей, единичным импульсом, импульсной функцией или функцией Дирака.

Применительно к исходным функциям

Возможны и другие многочисленные определения (х).

При сдвиге импульса по оси х на величину х₀, определения Error: Reference source not found и Error: Reference source not found должны быть записаны в более общей форме: (3.89)

(3.90)

(3.91)

(3.92)

Из определений Error: Reference source not found и Error: Reference source not found вытекает основное соотношение:

(3.93)

В математике это соотношение называют фильтрующим свойством дельта-функ­ции, хотя на языке техники больше подходит термин стробирующее свойство.

Поясним полученный результат. Так как по определению функция (х-х₀) равна нулю на всей оси х, кроме точки х=х₀, где она бесконечно велика, то интервал интегрирования можно сделать сколь угодно малым - -окрестностью точки х₀. В этой окрестности точки х₀ функция f(x) принимает постоянное значение f(x₀), которое можно вынести за знак интеграла.

Таким образом умножение любой подынтегральной функции f(x) на (х-х₀) позволяет приравнять интеграл произведения значению f(x) в точке х=х₀. В теории сигналов приходиться иметь дело с дельта-функциями от аргументов t или , в зависимости от того, в какой области рассматривается функция - временной или частотной.

Рассмотрим сначала свойства (t). В этом случае основной интерес представляет спектральная характеристика. Для дельта-функции значение спектральной плотности постоянно по величине для всех частот -<< и равно S(0)=1. (Спектр постоянный, непрерывный и неограниченный). Из этого также следует, что ФЧХ спектра функции (t) равна нулю для всех частот.

Аналогично, функция (t-t₀), определяющая -импульс в момент t₀, имеет спектральную плотность .

Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а аргумент, т. е. ФЧХ () = -t₀, следовательно, фаза линейно связана с частотой .

Спектральная плотность -функции может быть найдена с помощью преобразования
Фурье:

Характеристики

Список файлов учебной работы