Шпаргалки по анализу биосигналов (1044904), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Так как модуль спектра S() не зависит от сдвига s(t) во времени, можно положить t_o=0.

Наконец, сигнал s(t) можно нормировать таким образом, чтобы его энергия Э=1, и следовательно:

При этих условиях T_эф и _эф принимают вид:

и, следовательно, произведение длительностьполоса:

Нужно иметь в виду, что T_эф и _эф являются среднеквадратическими отклонениями соответственно от t=t₀ и =0, поэтому полную длительность сигнала следует приравнять 2T_эф, а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) - величине 2_эф.

Произведение T_эф_эф зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2. Оказывается, наименьшее возможное значение T_эф_эф=1/2 или T_эфF_эф=1/4 соответствует гауссовскому импульсу.

Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выражений для T_эф и _эф видно, что функция s(t) с увеличением t должна убывать быстрее чем 1/t, а функция S() - быстрее чем 1/, иначе соответствующие интегралы расходятся.

Например, для прямоугольного импульса и его спектра:

В этом случае выражение для T_эф_эф не имеет смысла и для оценки эффективной ширины спектра прямоугольного импульса приходится использовать другие критерии.

47. КОНЦЕНТРАЦИЯ ЭНЕРГИИ СИГНАЛОВ В ПОЛОСЕ ЧАСТОТ.

Рассмотрим некоторые вещественные простые сигналы, спектр которых сосредоточен в области низких частот, и определим с помощью равенства Парсеваля энергию, содержащуюся в полосе  от =0 до некоторой граничной _гр=2f_гр:

Отнеся затем Э_ к полной энергии сигнала Э, определим коэффициент, характеризующий концентрацию энергии спектра в заданной полосе [0; _гр]: (_гр_и) = Э_/Э

а) Для прямоугольного импульса, в соответствии с (3.70),

где .

Интегрируя по частям,

где - интегральный синус, получим:

Переходя к аргументу _гр_и/2 = f_гр_и, запишем:

б) Для треугольного импульса со спектральной плотностью (3.75) и полной энергией Э=A²_u/2

где

в) Для гауссовского импульса в соответствии с (3. 79) получаем:

где - полная энергия гауссовского импульса, а функция

является интегралом вероятности.

Учитывая, что длительность для гауссовского импульса определена ранее как 2а, аргумент функции  можно записать в форме: a_гр = f_гр_и.

Итак, значение произведения f_гр_и, требующееся для заданного , максимально для прямоугольного импульса (при >0.9) и
минимально для гауссовского.

В частности, уровню =0.95 соответствуют значения f_гр_и, равные 1.8, 0.94 и 0.48.

Выбор границы спектра по энергетическому критерию не всегда приемлем. Так, например, если при обработке импульса требуется сохранить его форму достаточно близко к прямоугольной, то f_гр_и должно быть гораздо больше единицы.

В любом случае, при заданной форме сигнала, сжатие его во времени с целью, например, повышения точности определения момента его появления неизбежно сопровождается расширением спектра, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. Аналогично, сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты, неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует увеличе­ния времени наблюдения (измерения).

Невозможность одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интервале времени представляет собой одно из проявлений известного в физике принципа неопределенности.

Вопрос о величине произведения [длительность x полоса] актуален при рассмотрении проблем электромагнитной совместимости РЭ_Средств (например, взаимные помехи радиостанций), при выборе рациональных форм сигналов в биотелеметрии и связных приложениях.

48. СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ СПЕКТРА ВНЕ ОСНОВНОЙ ПОЛОСЫ

Для выявления связи между поведением S() в области относительно высоких частот и структурой сигнала s(t), воспользуемся свойствами таких испытательных сигналов, как дельта-функция (t) и единичная ступенька 1(t) .

Дельта-функция (t) является единственной функцией, имеющей неубывающую спектральную плотность на всей оси частот -<<. Поэтому можно утверждать, что сигнал s(t), спектр которого вне основной полосы не убывает с ростом , содержит в своем составе -функцию (в реальных условиях -
достаточно мощный короткий импульс).

Далее, единственной функцией времени, имеющей спектральную плотность вида 1/, является единичный скачок 1(t). Следовательно, убывание хвоста спектра сигнала s(t) по закону 1/ свидетельствует о наличии в функции s(t) скачков, то есть разрывов непрерывности. Но в точках разрыва производная обращается в дельта-функцию (с постоянным коэффициентом, равным величине скачка). Поэтому убывание спектра пропорционально 1/ указывает на наличие -функции в составе производной s'(t) сигнала.

Это рассуждение можно продолжить и для производных сигнала s(t) более высоких порядков - разрыв первой производной приводит к убыванию спектра по закону 1/². Этот результат можно обобщить следующим образом: вне основной полосы частотный спектр убывает по закону 1/⁽ⁿ⁺¹⁾, где n - порядок производной, при котором возникает первый разрыв.

С этой точки зрения, гауссовский сигнал, производные которого непрерывны при всех порядках n, вплоть до n=, должен обладать спектром, скорость убывания которого является максимально возможной. Этот вывод согласуется с тем, что произведение [длительность x полоса] минимально для колоколообразного импульса.Основываясь на приведенных рассуждениях, нетрудно также объяснить происхождение пульсации спектра вне основной полосы частот. Периодическая пульсация с неубывающими максимумами может возникать только в результате интерференции спектров двух (и более) дельта-функций, разнесенных во времени. Спектр прямоугольного импульса, пульсирующий с максимумами, убывающими по закону 1/, является наглядным примером интерференции спектров двух единичных скачков.

49. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ЧАСТОТЫ. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.

Анализ прохождения сигналов через
линейные цепи, описываемые комплексной передаточной функцией, значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты p=+j.

Переход от действительной переменной  к p=+j позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции s(t).

Представим функцию s(t), в общем случае существующую при -<t<, в виде суммы двух функций:

из которых s₊(t) задана при 0<t<, а s_-(t)
при -<t<0. Обращаясь к паре преобразований Фурье Error: Reference source not found и Error: Reference source not found, совершаем переход от
 к p сначала для функции s₊(t). Для этого умножим s₊(t) на , где ₁>0 выбрана таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции в пределах 0<t<.

Тогда выражение Error: Reference source not found примет вид:

(3.51')

причем является спектральной плотностью функции .

Теперь подставим в Error: Reference source not found j=p-₁ и
=(p-₁)/j :

откуда:

(3.99)

Новая функция , являющаяся ни чем иным, как спектральной плотностью сигнала , определяется как:

Откуда (3.100)

Полученное соотношение называется односторонним преобразованием Лапласа функции s₊(t). Соотношение Error: Reference source not found, по
аналогии с Error: Reference source not found, часто называют обратным преобразованием Лапласа.

С равнение выражений Error: Reference source not found и Error: Reference source not found показывает, что переход от  к p означает
изменение пути интегрирования (Рис. 3.44.).

Рис. 3.44.Путь интегрирования

В выражении Error: Reference source not found интегрирование ведется по действительной оси , а в выражении Error: Reference source not found - по прямой, проходящей параллельно мнимой оси j на расстоянии ₁ вправо от этой оси. Значение постоянной ₁ определяется характером подынтегральной функции в Error: Reference source not found: путь интегрирования должен проходить правее полюсов этой функции.

Добавлением к прямой (₁-j, ₁+j) дуги бесконечно большого радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования. Для того, чтобы добавление этой дуги не изменяло значения интеграла, нужно следовать правилу: при положительных значениях t контур должен быть расположен в левой полуплоскости переменной p, а при отрицательных t - в правой.

Р ис. 3 .45

Рис. 3.46

Характеристики

Список файлов учебной работы