Шпаргалки по анализу биосигналов, страница 8

Представленная на Рис. 3. 7.функция является нечетной, поэтому ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены.

По формулам Error: Reference source not found...Error: Reference source not found нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опуская
выкладки, напишем результат:

(3.39)

Заметим, что амплитуды гармоник убывают обратно пропорционально частоте - по закону 1/n, где n=1,2,3,... – целые числа.

Восстановление пилообразного колебания пятью первыми гармониками показано на Рис. 3.8

Рис.3.8 Восстановление пилообразного колебания 5^-ю гармониками

21. СПЕКТР УНИПОЛЯРНОГО ТРЕУГОЛЬНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ.

Рис.3.9Треугольное колебание, сумма первых пяти гармоник и ошибка аппроксимации -
на нижнем графике, для наглядности увеличена в 10 раз

Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:

(3.40)

В нем так же отсутствуют четные гармоники.

Отметим, что амплитуды гармоник убывают более быстро, чем в предыдущих случаях. Это объясняется отсутствием точек разрыва (скачков) функции.

Примечание: Симметричный (середина
импульса при t=0) импульс длительности T_u, амплитуда которого равна 1, обозначают (t,T_u). Такой импульс можно представить в виде свертки двух одинаковых прямоугольных импульсов длительностью Т_и/2:

22. СПЕКТР УНИПОЛЯРНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ.

Рис.3.10Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Найдем постоянную составляющую как среднее значение сигнала за период:

Коэффициент n -той гармоники:

(3.41)

Так как функция e(t) - четная, то b_n=0 и A_n=a_n:

(3.42)

Величину =T/_и называют скважностью импульсной последовательности. При больших значениях  спектр сигнала содержит очень большое число медле­н­но убывающих по амплитуде гармоник.

При этом расстояние между спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине. Это следует из формулы Error: Reference source not found, которую в данном случае удобно представить в измененном виде:

При малых значениях n можно считать что

Постоянная составляющая, равная , вдвое меньше амплитуды первой гармоники.

На Рис. показан спектр импульсной последовательности при Т=1, _и=0.05.

Рис.3.11. Спектр последовательности

23. АППРОКСИМАЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА ТРЕУРОВНЕВЫМИ ИМПУЛЬСАМИ.

При повышенных требованиях к стабильности частоты, фазы или амплитуды сигналов рационально синтезировать цифровыми методами гармонические или близкие к ним по частотному спектру сигналы. При этом применяют различ­ные методы разложения (например, кусочно-постоянные функции Уолша).

Синтез колебаний выполняют с помощью цифровых схем или на основе микропроцессорных систем.

Простым, но в тоже время эффективным и наглядным примером является аппроксимация гармонического колебания трехуровневым периодическим импульсом. На Рис. показан пример такого подхода для импульсов с единичными амплитудой и периодом (A=1; T=1).

Один период такого колебания можно представить в следующем виде (Рис. 3.12):

Рис. 3.12Трехуровневый импульс

Коэффициенты ряда Фурье для положительных и целых n определяются следующим образом:

Здесь для упрощения в квадратных скобках приведены относительные амплитуды гармоник трехуровневого периодического колебания.

Все синусные коэффициенты b_n в данном случае равны нулю из-за четной симметрии сигнала. Тогда ряд Фурье имеет вид:

Спектр этого колебания (Рис. 3.13) несодержит гармоник от основной до пятой, которая относительно основной уменьшена на 14 дБ.

Р ис. 3.13 Модуль спектра трехуровневого колебания (по оси абсцисс указаны номера гармоник)

Это существенно ослабляет требования к фильтру, выделяющему основную гармонику и подавляющему гармоники высших порядков, по сравнению с фильтрацией меандра т.к. в спектре трехуровневого колебания отсутствует 3-я гармоника и ряд более высокочастотных гармоник.

24. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ МБС.

Пусть сигнал s(t) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом Т.

Энергия такого сигнала, определенного на бесконечном интервале t-; , бесконечно велика. Определенный интерес представляет средняя мощность периодического сигнала и распределение этой мощности между отдельными гармониками.

Очевидно, что средняя мощность сигнала, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Поэтому можно воспользоваться формулой Error: Reference source not found, в которой под коэффициентами С_n следует подразумевать коэффициенты ряда Error: Reference source not found, под интервалом ортогональности [t₁; t₂] - величину периода Т, а под нормой _n - величину . Таким образом, средняя мощность периодического сигнала:

(3.43)

Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и учитывая, что

и , получаем:

(3.44)

Если s(t) представляет собой ток i(t), то при прохождении его через сопротивление r выделяется средняя мощность:

где - постоянная составляющая, а I_n=A_n -амплитуда n-й гармоники тока i(t).

Полная средняя мощность равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной составляющей I₀ и гармониками с амплитудами I₁, I₂ ,...

Это значит, что средняя мощность не зависит от фаз отдельных гармоник, что вытекает из ортогональности спектральных составляющих, в данном случае - на интервале Т.

25. АППАРАТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОРТОГОНАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ.

Рассмотрим структурную схему для экспериментального определения коэффициентов разложения аналогового сигнала в обобщенный ряд Фурье по заданной системе ортогональных базисных функций.

Р ис.3.14. Аппаратная реализация разложения в обобщенный ряд Фурье

Основными элементами здесь являются генераторы тех базисных функций, по которым производится разложение. Анализируемый сигнал одновременно подается на совокупность множительных звеньев, осуществляющих перемножение этого сигнала и соответствующей базисной функции. С выходов перемножителей сигналы поступают на интеграторы.

При таком методе обработки сигнала в конце промежутка времени интегрирования на выходе каждого интегратора возникает неизменный во времени уровень, величина которого в точности равна тому или иному коэффициенту обобщенного ряда Фурье.

Ясно, что работоспособность схемы в целом будет зависеть от того, насколько точно удается воссоздать базисные функции, а также от совершенства функционирования перемножителей и интеграторов.

Практическая схема выглядит гораздо сложнее. Например, должны быть предусмотрены цепи, осуществляющие синхронизацию всех генераторов базисных функций.

26. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ МБС.

Гармонический анализ периодических сигналов, рассмотренный ранее, можно распространить на непериодические сигна­лы. Пусть непериодический сигнал s(t) задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке [t₁; t₂].

Рис. 3.15 Непериодический импульс

Выделив произвольный отрезок времени
[0; Т], включающий в себя [t₁; t₂], мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье:

(3.45)

где ₁=2/T, а коэффициенты C_n в соответствии с Error: Reference source not found:

(3.46)

Подставив Error: Reference source not found в Error: Reference source not found и учитывая, что T=2/₁, получим для 0<t<T:

(3.47)

Вне отрезка [0; Т] ряд Error: Reference source not found определяет функцию s(t)=s(tkT), где k - целое число;
то есть периодическую функцию, полу­чен­ную повторением s(t) вправо и влево с периодом Т.

Для того чтобы вне отрезка [0; Т] функ­ция равнялась нулю, величина Т должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок Т, выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты C_n.

Устремляя T, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию s(t), заданную на интервале t₁<t<t₂. Число гармонических составляю­щих становится бесконечно большим, так как при T основная частота функции ₁=2/T0.

Иными словами, расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте ₁, становится бесконечно малым, а спектр - непрерывным, или сплошным.

Поэтому в выражении Error: Reference source not found можно заменить ₁ на d, n₁ - на текущую частоту , а операцию суммирования - операцией интегрирования.

В результате получаем двойной интеграл Фурье:

(3.48)

27. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МБС, ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СПЕКТРА.

двойной интеграл Фурье:

(3.48)

Внутренний интеграл является функцией :